PROOF 126
증명하라.
지수함수와 로그함수는 y=x 에 대칭이다
실수 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a > 0, a ≠ 1 일 때 E(y) = aʸ 로 정의한다. 정의역은 실수 전체다.
증명.
(1)밑의 조건은 증명 100 에서 세운 것을 그대로 쓴다.A1
(2)모든 실수 y 에 대하여 aʸ > 0 이므로 E 의 값은 양의 실수다.A2
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정의 D2
logₐ x 는 aʸ = x 를 만족하는 y 를 뜻하고, L(x) = logₐ x 로 쓴다. 정의역은 양의 실수다.
증명.
여기까지는 이름일 뿐이다. 이 이름이 함수가 되려면 그러한 y 가 존재하고 하나뿐이어야 하며, 그것은 L1 에서 확인한다.약속
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보조정리 L1
E 는 실수 전체에서 양의 실수 전체로의 일대일 대응이며, 각 x > 0 에 대하여 aʸ = x 인 y 는 하나뿐이다.
증명.
(1)모든 y 에 대하여 E(y) > 0 이므로 E 의 값은 모두 양의 실수다.D1, A2
(2)x > 0 이면 aʸ = x 인 y 가 존재한다.A3
(3)y ≠ z 이면 aʸ ≠ aᶻ 이므로, E(y) = E(z) 인 것과 y = z 인 것은 같다.D1, A4
(4)그러므로 (2) 의 y 는 하나뿐이고, E 는 일대일 대응이다.(1), (2), (3)
(5)각 x > 0 에 값이 하나 정해지므로 L 은 함수다.(4), D2
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정리 T1
모든 x > 0 에 대하여 L(x) = E⁻¹(x) 이다. 즉 L 은 E 의 역함수이며, L(E(y)) = y 이고 E(L(x)) = x 이다.
증명.
(1)L(x) = y ⟺ aʸ = xD2
(2)aʸ = x ⟺ E(y) = xD1
(3)E 는 일대일 대응이므로 E⁻¹ 이 정의된다.L1, A5
(4)E(y) = x ⟺ E⁻¹(x) = y(3), A5
(5)세 동치를 이으면 L(x) = E⁻¹(x)(1), (2), (4)
(6)그러므로 L(E(y)) = y 이고 E(L(x)) = x 이다.(5), A5
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정리 T2
두 그래프 G(E) 와 G(L) 은 직선 y = x 에 대하여 대칭이다.
증명.
(1)E 는 일대일 대응이다.L1
(2)그러므로 G(E) 와 G(E⁻¹) 는 y = x 에 대하여 대칭이다.(1), A7
(3)L = E⁻¹ 이다.T1
(4)그러므로 G(E) 와 G(L) 은 y = x 에 대하여 대칭이다.(2), (3)
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따름정리 C
E 의 그래프 위의 점 (0, 1) 과 L 의 그래프 위의 점 (1, 0) 은 y = x 에 대한 대칭점이다.
증명.
(1)E(0) = a⁰ = 1 이므로 (0, 1) 은 G(E) 의 원소다.D1, A8
(2)E 는 일대일 대응이므로 (0,1) ∈ G(E) ⟺ (1,0) ∈ G(E⁻¹)L1, A6
(3)L = E⁻¹ 이므로 (1, 0) 은 G(L) 의 원소이고 L(1) = 0 이다.(2), T1, D2
(4)그러므로 지수함수의 y절편과 로그함수의 x절편은 y = x 에 대한 대칭점이다.(1), (3), T2
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
존재를 말하는 줄과 유일을 말하는 줄을 나누어 보라. 로그가 함수가 되려면 둘 다 필요하다.