√2 · 무리수
표현할 수 없는 것이 나타날 때마다, 수의 세계는 넓어졌다.
한 변이 1인 정사각형의 대각선. 이 길이를 분수로 쓸 수 있을까?
유한 근삿값과 정확한 값을 구분합니다.
이 수를 발견한 죄로 바다에 던져졌다는 전설
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 익숙한 수의 바깥으로 · 2/3
이 질문이 왜 필요할까요?
고대 그리스 피타고라스 학파는 '만물은 (자연수의) 비율'이라 믿었습니다. 그런데 자기들의 정리가 낳은 정사각형 대각선 √2가 그 믿음을 무너뜨렸어요.
√2를 분수 p/q로 쓸 수 있다고 가정하면 모순이 터집니다(짝수·홀수 논법). 즉 유리수만으로는 수직선에 구멍이 있어요. 대각선 길이조차 표현 못 하는 구멍입니다.
그 구멍들을 채우는 수가 무리수입니다. 유리수와 무리수를 합쳐야 비로소 빈틈없는 수직선(실수)이 완성돼요. 극한과 미적분이 설 수 있는 무대가 이렇게 마련됐습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
√2가 태어난 자리 — 정사각형의 대각선
한 변이 1인 정사각형을 그으면 대각선의 길이가 √2입니다. 사냥 중인 분수가 그 대각선 위 어디쯤인지 보세요.
확대할수록 분수는 √2에 바짝 붙습니다. 그런데 눈금에 정확히 걸리는 순간은 오지 않아요.
예측 먼저 — 한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이(√2 ≈ 1.414…)를 분수로 정확히 쓸 수 있을까요?
분수 사냥 — 제곱해서 정확히 2가 되는 분수를 찾아라
버튼을 누를 때마다 더 정밀한 분수로 조여갑니다. (p/q)²이 정확히 2가 되는 순간이 올까요?
1/1
현재 분수
1.000000
제곱하면
1.000000
2와의 차이
수의 세계에서 무리수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
무리수는 소수점이 길어서 귀찮은 수가 아니라 정수의 비로 나타낼 수 없는 실수입니다. 긴 소수 근사와 정확한 수를 나타내는 기호를 구분해 읽어 봅시다.
√2를 유한한 소수로 자르면 근사값이지만, √2라는 짧은 기호 자체는 정확한 수를 나타낼 수 있습니다. 유한한 기호 표현이 불가능한 것이 아니라 유한소수나 분수로 정확히 쓸 수 없는 것입니다.
√2는 수학사 최초의 스캔들이었다.
'모든 것은 비율'이라는 세계관이 내부 고발로 무너졌습니다. 불편한 발견을 감추지 않고 수 체계를 넓힌 것이에요. 수학이 종교가 아니라 학문인 이유입니다.
무리수는 예외가 아니라 다수다.
수직선 위에서 무작위로 한 점을 찍으면 사실상 확률 1로 무리수입니다. 우리가 익숙한 분수들이 오히려 티끌처럼 드문 존재예요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
소수 전개에서 반복하지 않는다는 것은 어떤 자리부터 같은 유한 묶음이 끝없이 반복되는 순환이 없다는 뜻입니다.
분수 사냥의 실패를 수학의 언어로 쓰면 무리수의 정의가 됩니다.
공식 해부 — 분수 사냥의 실패와 짝지어 보기
⇒ ⇒
무리수의 정의
어떤 정수의 비로도 쓸 수 없는 수입니다. 소수로 쓰면 끝나지 않고 반복하지도 않아요.
귀류법의 한 줄 요약
p²=2q²이면 p는 짝수이고, 그러면 q도 짝수입니다. 기약분수라는 가정이 무너져요. 실험에서 사냥이 항상 실패한 이유의 증명입니다.
실수 = 유리수 + 무리수
둘을 합쳐야 수직선이 빈틈없이 채워집니다. 이 빈틈없음(완비성)이 극한과 미적분의 토대가 돼요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
계산기에 뜨는 1.41421356이 √2다.
그것은 √2의 앞부분일 뿐입니다. √2의 소수점은 끝나지도, 반복되지도 않아요. 유한소수로 적은 값은 √2 자체가 아니라 근사값입니다. 다만 √2라는 기호는 짧아도 그 수를 정확하게 가리켜요.
소수점이 무한하면 무리수다.
0.333…은 무한하지만 1/3, 즉 유리수입니다. 기준은 무한함이 아니라 반복하는가예요. 무한하되 반복이 없어야 무리수입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
A4 용지의 비밀
A열 용지의 가로세로 비는 1:√2입니다. 반으로 접어도 같은 비율이 유지되는 유일한 비율이에요. 무리수가 문구점에 숨어 있습니다.
카메라 조리개 (f값)
f/1.4, f/2, f/2.8처럼 한 단계가 √2배입니다. 빛의 양이 정확히 2배씩 변하도록 무리수로 눈금을 매겼어요.
음악의 평균율
반음 하나의 진동수 비는 ¹²√2입니다. 옥타브를 12등분하는 무리수 비율 덕분에 어떤 조로도 조옮김이 가능해졌어요.
π와 원의 세계
원주율 π도 무리수입니다. 바퀴가 한 바퀴 구른 거리조차 분수로는 정확히 쓸 수 없어요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
0.333…은 끝나지 않는데 왜 무리수가 아니죠?
생각한 뒤 설명 확인하기
1/3이라는 분수로 쓸 수 있고, 소수 전개가 순환하기 때문입니다. 무한하다는 사실만으로는 부족합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 0.272727…(27이 반복)은 유리수일까요, 무리수일까요?
2. √16은 유리수일까요, 무리수일까요?
3. 분수 사냥에서 분모를 아무리 키워도 (p/q)²이 정확히 2가 되지 않는 이유는?
4. 무리수 √2와 무리수 √8을 곱하면 어떻게 될까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q10.121212…(12 반복)는 유리수일까요, 무리수일까요?답 보기 ▾
유리수입니다. 12/99 = 4/33이에요. 반복하는 무한소수는 언제나 분수로 바꿀 수 있습니다. 무한함이 아니라 '반복 없음'이 무리수의 기준이에요.
Q2√9는 무리수일까요?답 보기 ▾
아니요, √9 = 3으로 자연수입니다. 루트 기호가 붙었다고 무리수인 게 아니라, 값이 분수로 표현되는지가 기준이에요. √4, √2.25(=1.5)도 유리수죠.
Q3무리수 √2와 무리수 √2를 곱하면 무엇이 될까요? 무리수끼리의 연산은 항상 무리수일까요?답 보기 ▾
√2×√2 = 2로 유리수입니다! 무리수끼리 더하거나 곱해서 유리수가 될 수 있어요. √2 + (−√2) = 0도 그렇죠. 무리수는 연산에 대해 닫혀 있지 않습니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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