i · 복소수
수직선을 평면으로 넓힌 90° 회전, i
제곱해서 −1이 되는 수. 수직선 어디에도 없는 이 수를, 수학자들은 왜 버리지 못했을까요?
제곱과 회전의 연결을 살펴봅니다.
'상상의 수'라며 조롱받던 수
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 익숙한 수의 바깥으로 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
수의 역사는 막힌 방정식의 역사입니다. x+3=1은 자연수로 풀 수 없어서 음수가 태어났고, 3x=2는 정수로 풀 수 없어서 분수가 태어났어요. 새 수는 늘 '풀 수 없다'는 벽 앞에서 만들어졌습니다.
16세기 이탈리아 수학자들은 삼차방정식을 풀다가 제곱해서 음수가 되는 수와 마주쳤습니다. 그 수를 잠깐 인정하고 계산을 밀고 나가면, 신기하게도 멀쩡한 실수 답이 나왔어요. 버릴 수도 없고 믿을 수도 없는 수였습니다.
300년 뒤 가우스 시대에 답이 나왔습니다. i는 수직선 밖, 평면 위의 수라는 것이에요. 곱하기 i를 90° 회전으로 읽는 순간 모든 계산이 그림과 맞아떨어졌고, 수는 선에서 평면으로 자랐습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
x + 3 = 1
아는 수: 자연수 1, 2, 3, …예측 먼저 — 지금 아는 수만으로 풀 수 있을까요?
수의 세계에서 복소수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
복소수는 허수부가 붙은 낯선 기호라기보다, 실수축만으로 표현하던 대상을 평면으로 넓혀 계산하는 방식입니다. 더하기는 위치를 옮기고 곱하기는 회전과 크기 변화를 함께 나타낼 수 있습니다.
1에 i를 곱하면 i, 다시 곱하면 −1, 또 곱하면 −i, 한 번 더 곱하면 1입니다. 네 번의 90도 회전으로 읽으면 i²=−1이 계산 규칙과 그림을 함께 갖게 됩니다.
새 수는 발견되는 게 아니라, 막힌 문제가 낳는다.
음수도 분수도 처음 등장했을 때는 '말도 안 되는 수' 취급을 받았습니다. x²=−1 앞에서 태어난 i도 똑같은 길을 걸었을 뿐이에요. 300년이 지나서야 회전이라는 정체가 밝혀졌습니다.
i의 정체는 크기가 아니라 방향이다.
곱하기 −1이 수직선에서 180° 뒤집기라면, 곱하기 i는 그 절반인 90° 회전입니다. 반 바퀴의 반을 두 번 돌면 뒤집기가 되니, i² = −1이라는 식이 그림 하나로 설명돼요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
실수에서의 크기 순서를 복소수 전체에 그대로 옮길 수는 없습니다. 절댓값은 원점에서의 거리입니다.
실험에서 몸으로 겪은 회전을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 2단계에서 누른 버튼과 짝지어 보기
=
허수단위의 정의
제곱해서 −1이 되는 새 수 i를 인정한다는 선언입니다. 2단계에서 ×i를 두 번 눌렀을 때 도착한 그 자리예요.
복소수
실수부 a와 허수부 b를 가진 평면의 점 (a, b)입니다. 수직선의 수가 아니라 평면의 수예요. 슬라이더로 옮기던 그 점입니다.
곱하기 i는 90° 회전
점 (a, b)가 (−b, a)로 옮겨집니다. 어떤 점이든 반시계로 정확히 90° 도는 규칙, 2단계에서 확인한 그대로예요.
주기 4
네 번 돌면 제자리라서 i의 거듭제곱은 값이 네 개뿐입니다. 아무리 큰 지수도 4로 나눈 나머지만 남아요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
허수(imaginary number)는 이름대로 상상 속 수라서 현실에는 없다.
이름은 데카르트가 반쯤 놀리며 붙인 별명이 굳어진 것뿐입니다. 교류 전기, 소리 분석, 게임 속 회전이 전부 복소수로 계산돼요. 콘센트에 꽂는 전기가 매일 이 수로 설계됩니다.
복소수도 수니까 크기 순서로 비교할 수 있다.
평면의 점에는 한 줄 세우기가 없습니다. i와 1 중 무엇이 큰지는 물을 수 없어요. 비교할 수 있는 것은 원점에서의 거리, 즉 절댓값뿐입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
교류 전기
콘센트의 전기는 1초에 수십 번 방향을 바꾸는 파도입니다. 전압과 전류가 어긋나는 정도(위상)를 복소수 하나로 계산해요. 전기공학의 표준 언어입니다.
소리와 신호 처리
음성 인식, 노이즈 캔슬링, MP3는 소리를 주파수로 분해하는 푸리에 변환 위에 서 있습니다. 그 변환의 심장이 복소수 회전이에요.
게임과 그래픽의 회전
2D 게임에서 캐릭터를 돌리는 계산은 복소수 곱셈 그대로입니다. 3D에서는 이를 넓힌 쿼터니언이 카메라와 로봇 관절을 돌려요.
망델브로 프랙탈
z → z²+c를 복소평면에서 반복하기만 하면 무한히 깊은 프랙탈이 나타납니다. 복소수 곱셈 하나가 만드는 가장 유명한 그림이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
i를 곱하면 모든 복소수의 크기가 커질까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. i의 절댓값은 1이므로 크기는 그대로이고 방향만 90도 회전합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. i² 의 값은?
2. i²⁰²⁶ 의 값은?
3. (2 + i) + (1 − 3i) 를 계산하면?
4. 다음 중 실수인 것은?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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