PROOF 89
증명하라.
켤레복소수의 곱은 실수다
복소수 ℂ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a, b 가 실수인 z = a + bi 에 대하여 z̄ = a + (−b)i 를 z 의 켤레복소수라 한다.
증명.
a − bi 는 a + (−b)i 를 뜻한다. 실수부는 그대로 두고 허수부의 부호만 바꾼다.약속
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정의 D2
|z| 는 x × x = a × a + b × b 를 만족하는 음이 아닌 실수 x 다.
증명.
|z| 를 z 의 절댓값이라 한다.약속
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보조정리 L1
a 와 b 가 모두 0 은 아니면 0 < a × a + b × b 이며, 그 값은 0 이 아니다.
증명.
(1)a ≠ 0 이라 하자.가정
(2)0 < a × a(1), A15
(3)0 ≤ b × bA14
(4)그러므로 0 < a × a + b × b 이다.(2), (3), A16
(5)b ≠ 0 인 경우에는 0 < b × b 이고 0 ≤ a × a 이다.A15, A14
(6)a × a + b × b = b × b + a × a 이므로 같은 결론을 얻는다.(5), A6, A16
(7)어느 경우에나 그 값은 0 보다 크고, 0 이 아니다.(4), (6), A17
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정리 T
z = a + bi 이면 z z̄ = a × a + b × b 이고, 이 값은 실수다.
증명.
(1)z z̄ = (a + bi)(a + (−b)i)D1
(2) = a(a + (−b)i) + (bi)(a + (−b)i)A1
(3) = a×a + a((−b)i) + (bi)a + (bi)((−b)i)A1
(4)a((−b)i) = (a(−b))i = (−(ab))iA2, A10
(5)(bi)a = a(bi) = (ab)iA3, A2
(6)(−(ab))i + (ab)i = ((−(ab)) + (ab))i = 0 × i = 0A1, A3, A8, A9
(7)(bi)((−b)i) = (b(−b))(i × i) = (−(b×b))(−1)A2, A3, A10, A12
(8)(−(b×b))(−1) = (b × b) × 1 = b × b(7), A11, A4
(9)그러므로 z z̄ = a × a + b × b 이다.(3), (4), (5), (6), (7), (8), A5, A6, A7
(10)a 와 b 는 실수이므로 a × a + b × b 도 실수다.A18
(11)그러므로 z z̄ 는 실수다.(9), (10), E
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따름정리 C
z ≠ 0 이면 |z| × |z| = z z̄ 이고, z 의 역수는 z̄ 를 a × a + b × b 로 나눈 것이다.
증명.
(1)|z| × |z| = a × a + b × bD2
(2)그러므로 |z| × |z| = z z̄ 이다.(1), T, E
(3)z ≠ 0 이므로 a 와 b 가 모두 0 은 아니고, a × a + b × b ≠ 0 이다.가정, D1, L1
(4)(a × a + b × b)t = 1 인 실수 t 가 있다.(3), A13
(5)z(z̄ t) = (z z̄)t = (a × a + b × b)t = 1A2, T, (4), E
(6)그러므로 z 의 역수는 z̄ t, 곧 z̄ 를 a × a + b × b 로 나눈 것이다.(5)
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비고
A12 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
네 항 중 사라지는 두 항과 남는 한 항을 갈라 보라. 남는 항이 무엇에 기대는가.