제곱해서 −1이 되는 수. 수직선 어디에도 없는 이 수를, 수학자들은 왜 버리지 못했을까요?
방정식이 막힐 때마다 수는 자랐다. i는 상상의 수가 아니라, 수직선을 평면으로 넓힌 90° 회전이다.
Experiment
직접 만져보기
x + 3 = 1
아는 수: 자연수 1, 2, 3, …🔮 예측 먼저 — 지금 아는 수만으로 풀 수 있을까요?
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
수의 역사는 막힌 방정식의 역사입니다. x+3=1은 자연수로 풀 수 없어서 음수가 태어났고, 3x=2는 정수로 풀 수 없어서 분수가 태어났어요. 새 수는 늘 '풀 수 없다'는 벽 앞에서 만들어졌습니다.
16세기 이탈리아 수학자들은 삼차방정식을 풀다가 제곱해서 음수가 되는 수와 마주쳤습니다. 그 수를 잠깐 인정하고 계산을 밀고 나가면, 신기하게도 멀쩡한 실수 답이 나왔어요. 버릴 수도 없고 믿을 수도 없는 수였습니다.
300년 뒤 가우스 시대에 답이 나왔습니다. i는 수직선 밖, 평면 위의 수라는 것이에요. 곱하기 i를 90° 회전으로 읽는 순간 모든 계산이 그림과 맞아떨어졌고, 수는 선에서 평면으로 자랐습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“새 수는 발견되는 게 아니라, 막힌 문제가 낳는다.”
음수도 분수도 처음 등장했을 때는 '말도 안 되는 수' 취급을 받았습니다. x²=−1 앞에서 태어난 i도 똑같은 길을 걸었을 뿐이에요. 300년이 지나서야 회전이라는 정체가 밝혀졌습니다.
“i의 정체는 크기가 아니라 방향이다.”
곱하기 −1이 수직선에서 180° 뒤집기라면, 곱하기 i는 그 절반인 90° 회전입니다. 반 바퀴의 반을 두 번 돌면 뒤집기가 되니, i² = −1이라는 식이 그림 하나로 설명돼요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
허수(imaginary number)는 이름대로 상상 속 수라서 현실에는 없다.
이름은 데카르트가 반쯤 놀리며 붙인 별명이 굳어진 것뿐입니다. 교류 전기, 소리 분석, 게임 속 회전이 전부 복소수로 계산돼요. 콘센트에 꽂는 전기가 매일 이 수로 설계됩니다.
복소수도 수니까 크기 순서로 비교할 수 있다.
평면의 점에는 한 줄 세우기가 없습니다. i와 1 중 무엇이 큰지는 물을 수 없어요. 비교할 수 있는 것은 원점에서의 거리, 즉 절댓값뿐입니다.
Formula
수식으로 정리하기
실험에서 몸으로 겪은 회전을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
🔬 공식 해부 — 2단계에서 누른 버튼과 짝지어 보기
=
허수단위의 정의
제곱해서 −1이 되는 새 수 i를 인정한다는 선언입니다. 2단계에서 ×i를 두 번 눌렀을 때 도착한 그 자리예요.
복소수
실수부 a와 허수부 b를 가진 평면의 점 (a, b)입니다. 수직선의 수가 아니라 평면의 수예요. 슬라이더로 옮기던 그 점입니다.
곱하기 i는 90° 회전
점 (a, b)가 (−b, a)로 옮겨집니다. 어떤 점이든 반시계로 정확히 90° 도는 규칙, 2단계에서 확인한 그대로예요.
주기 4
네 번 돌면 제자리라서 i의 거듭제곱은 값이 네 개뿐입니다. 아무리 큰 지수도 4로 나눈 나머지만 남아요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
교류 전기
콘센트의 전기는 1초에 수십 번 방향을 바꾸는 파도입니다. 전압과 전류가 어긋나는 정도(위상)를 복소수 하나로 계산해요. 전기공학의 표준 언어입니다.
소리와 신호 처리
음성 인식, 노이즈 캔슬링, MP3는 소리를 주파수로 분해하는 푸리에 변환 위에 서 있습니다. 그 변환의 심장이 복소수 회전이에요.
게임과 그래픽의 회전
2D 게임에서 캐릭터를 돌리는 계산은 복소수 곱셈 그대로입니다. 3D에서는 이를 넓힌 쿼터니언이 카메라와 로봇 관절을 돌려요.
망델브로 프랙탈
z → z²+c를 복소평면에서 반복하기만 하면 무한히 깊은 프랙탈이 나타납니다. 복소수 곱셈 하나가 만드는 가장 유명한 그림이에요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
i² 의 값은?
i²⁰²⁶ 의 값은?
(2 + i) + (1 − 3i) 를 계산하면?
다음 중 실수인 것은?
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Connection
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