PROOF 191
증명하라.
n차 방정식은 ℂ 에서 근을 갖는다
복소수 ℂ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
p(x) = aₙxⁿ + ⋯ + a₀ (aₙ ≠ 0, n ≥ 1) 을 n 차 다항식이라 하고, p(c) = 0 인 c 를 근이라 한다.
증명.
차수 n 은 최고차항의 지수다. 상수 아닌 다항식만 다룬다.약속
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정의 D2
ℚ(i) = { a + bi : a, b ∈ ℚ } 로 둔다.
증명.
사칙연산에 닫혀 있는 체다 — 체의 공리 F 를 전부 만족한다.약속
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보조정리 L1
x² − 2 는 ℚ(i) 안에 근을 갖지 않는다.
증명.
(1)(a + bi)² = 2 인 a, b ∈ ℚ 가 있다고 하자.가정, D2
(2)전개하면 (a² − b²) + (2ab)i = 2 + 0·i.(1), A6, F, E
(3)실부와 허부가 각각 같다: a² − b² = 2, 2ab = 0.(2), A7
(4)2ab = 0 에서 ab = 0 — 그러므로 a = 0 또는 b = 0.(3), F, A8
(5)b = 0 이면 a² = 2 — 그런 유리수는 없다. 모순.(3), (4), A9, F, E
(6)a = 0 이면 −b² = 2, 즉 b² = −2 < 0 — 제곱은 음이 아니므로 모순.(3), (4), A10, A11, F, E
(7)두 경우가 모두 막힌다. 근은 없다.(5), (6)
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정리 T1
모든 상수 아닌 다항식이 근을 하나씩 갖는다면, n 차 다항식은 근을 n 개(중복 포함) 갖는다.
증명.
(1)p(c₁) = 0 인 c₁ 이 있으면 p(x) = (x − c₁)q(x) — q 는 n − 1 차다.가정, A4
(2)q 도 상수가 아니면 근 c₂ 를 갖고, 다시 한 차수 내려간다.(1), 가정, A4
(3)차수는 1 씩 줄어 n 번 만에 끝난다: p(x) = aₙ(x − c₁)⋯(x − cₙ).(2), D1
(4)그러므로 '근이 하나는 있다'만 보이면, n 개는 따라 나온다.(3)
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정리 T2
실계수·홀수차 다항식은 실근을 갖는다.
증명.
(1)최고차항의 계수는 양수라 하자. 음수이면 −p 로 바꾸어도 근은 같다.약속, F
(2)다항함수 p 는 연속이다.A3
(3)차수가 홀수이므로 충분히 큰 M 에서 p(−M) < 0 < p(M).(1), A5, D1
(4)중간값 정리에 의해 p(c) = 0 인 실수 c 가 −M 과 M 사이에 있다.(2), (3), A2
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진술 T
상수 아닌 복소계수 다항식은 ℂ 안에 근을 갖는다.
(1)이 정리의 완전한 증명은 이 판의 형식을 넘어선다. 여기서는 진술로 세우고, 무엇에 기대는지를 밝힌다.약속
(2)체의 공리만으로는 증명되지 않는다 — ℚ(i) 는 체의 공리를 전부 만족하지만, x² − 2 는 그 안에 근이 없다.D2, L1
(3)실계수·홀수차의 경우, 근을 내놓은 것은 완비성(중간값 정리)이었다. 일반의 경우도 같은 원천에 기댄다.T2, A2
(4)근의 존재를 결정하는 것은 계수의 대수가 아니라, 복소평면에 빈틈이 없다는 사실이다.(2), (3), A1
(5)그리고 근이 하나 있으면 n 개다 (T1). n 차 방정식은 ℂ 에서 근을 n 개 갖는다.(4), T1
증명 생략.
비고
A1 은 이 정리에서 제거할 수 있는가.
인수정리(T1)와 완비성이 각각 어디까지 책임지는지 확인하라. 근의 존재는 어느 쪽에서 오는가.