PROOF 14
증명하라.
i² = −1 은 정의다
복소수 ℂ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
ℂ 는 실수의 짝 (a, b) 전체이며, 두 연산을 다음과 같이 정한다.
증명.
(1)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)약속
(2)(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)약속
(3)(a, 0) 을 실수 a 와 같은 것으로 보고, (0, 1) 을 i 라 쓴다.약속
(4)그러면 (a, b) = a + bi 이다.(1), (2), (3)
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보조정리 L1
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A5
(2)a(0 + 0) = a × 0(1), E
(3)a×0 + a×0 = a×0(2), A1
(4)a×0 + a×0 = a×0 + 0(3), A5
(5)a × 0 = 0(4), A7
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보조정리 L2
모든 a, b 에 대하여 a(−b) = −(ab)
증명.
(1)ab + a(−b) = a(b + (−b))A1
(2) = a × 0A6
(3) = 0L1
(4)ab 의 역원은 유일하므로 a(−b) = −(ab) 이다.(3), A6
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보조정리 L3
D1 의 곱셈에서 i × i = −1
증명.
(1)(0,1) × (0,1) = (0×0 − 1×1, 0×1 + 1×0)D1
(2)0 × 0 = 0 이고 0 × 1 = 1 × 0 = 0L1, A3
(3)1 × 1 = 1A4
(4)그러므로 (0,1) × (0,1) = (0 + (−1), 0) = (−1, 0)(1), (2), (3), A5
(5)(−1, 0) 은 실수 −1 이고 (0,1) 은 i 이므로 i × i = −1 이다.(4), D1
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보조정리 L4
분배·결합·교환을 지키면서 i × i = −1 을 요구하면, 곱셈 규칙은 D1 의 것뿐이다.
증명.
(1)(a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di)A1
(2) = ac + a(di) + (bi)c + (bi)(di)A1
(3) = ac + (ad)i + (bc)i + (bd)(i × i)A2, A3
(4)(bd)(i × i) = (bd)(−1) = −(bd)L3, L2, A4
(5) = (ac − bd) + (ad + bc)i(3), (4), A1
(6)이는 D1 의 곱셈 규칙과 같다.(5), D1
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정리 T1
x² = −1 을 만족하는 실수 x 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)0 < 1A11
(2)양변에 −1 을 더하면 −1 < 0 이다.(1), A8, A6, A5
(3)x² = −1 인 x 가 있다고 하자.가정
(4)x = 0 이면 x² = 0 이고, (2)에 의해 0 ≠ −1 이므로 x ≠ 0 이다.L1, (2), A10
(5)0 < x 이면 0 = 0 × x < x × x 이므로 0 < x² 이다.A9, L1, A3
(6)x < 0 이면 양변에 −x 를 더하여 0 < −x 이다.A8, A6, A5
(7)x < 0 과 0 < −x 에서 x(−x) < 0 × (−x) = 0 이다.(6), A9, L1, A3
(8)x(−x) = −(x × x) 이므로 −x² < 0 이다.(7), L2
(9)양변에 x² 을 더하면 0 < x² 이다.(8), A8, A6, A5
(10)x 는 0 이 아니므로 (5) 또는 (9) 이다. 어느 쪽이든 0 < x² 이다.A10, (4), (5), (9)
(11)그런데 x² = −1 이고 −1 < 0 이다.(3), (2)
(12)0 < x² 와 x² < 0 은 함께 설 수 없다.A10, (10), (11)
(13)그러한 x 는 없다.(12)
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따름정리 C
ℂ 에는 A8~A11 을 만족하는 순서가 없다.
증명.
(1)ℂ 에 그러한 순서가 있다고 하자.가정
(2)T1 은 순서체의 공리만 쓰므로, 순서를 가진 어떤 체에서도 성립한다.T1, L1, L2
(3)그러므로 ℂ 에서도 x² = −1 은 해를 갖지 못한다.(1), (2)
(4)그런데 i 는 ℂ 의 원소이고 i × i = −1 이다.L3
(5)모순이다. 그러한 순서는 없다.(3), (4)
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비고
A10 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
i 를 막는 것이 사칙연산인지 순서인지 확인하라. 삼분법을 빼면 어느 줄이 근거를 잃는가.