PROOF 189
증명하라.
확장할 때마다 무엇을 잃는가
각 수 체계 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정리 T1
ℕ → ℤ 에서 정렬 원리를 잃는다. ℤ 는 최소 원소를 갖지 않는다.
증명.
(1)ℕ 에서는 ∅ 아닌 모든 부분집합이 최소 원소를 갖는다. 특히 ℕ 자신도 갖는다.A1
(2)ℤ 에도 최소 원소 m 이 있다고 하자.가정
(3)m − 1 도 정수다.F
(4)0 < 1 의 양변에 −1 을 더하면 −1 < 0.A2, A3, F
(5)−1 < 0 의 양변에 m 을 더하면 m − 1 < m.(4), A3, F
(6)m 보다 작은 정수가 있으므로 m 은 최소가 아니다 — 모순. ℤ 는 최소 원소를 갖지 않는다.(2), (3), (5)
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정리 T2
ℤ → ℚ 에서 이산성을 잃는다. 0 과 1 사이가 채워진다.
증명.
(1)ℤ 에서는 0 < n < 1 인 원소가 없다.A4
(2)0 < 1 의 양변에 1 을 더하면 1 < 1 + 1 = 2. 추이성으로 0 < 2.A2, A3, A7, 약속
(3)0 < 2 이므로 ℚ 에는 1/2 이 있고 0 < 1/2.(2), A6, F
(4)1 < 2 의 양변에 1/2 을 곱하면 1/2 < 1.(2), (3), A5, F, E
(5)0 < 1/2 < 1 — '0 과 1 사이는 비어 있다'는 성질이 ℚ 에서 깨진다.(1), (3), (4)
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정리 T3
ℝ → ℂ 에서 순서를 잃는다. ℂ 에는 A3·A9 를 만족하는 순서 < 가 존재하지 않는다.
증명.
(1)ℂ 에 A3 과 A9 를 만족하는 순서 < 가 있다고 하자.가정
(2)i ≠ 0 — i = 0 이면 −1 = i × i = 0 × 0 = 0 이 되어, −1 < 0 에 어긋난다.A10, A12, A2, A3, A8, E
(3)삼분법에 의해 0 < i 또는 i < 0 이다.(2), A8
(4)0 < i 이면 0 < i × i = −1.(3), A9, A10, E
(5)i < 0 이면 양변에 −i 를 더해 0 < −i. 그러면 0 < (−i)(−i) = i × i = −1.(3), A3, A9, A11, A10, F, E
(6)어느 쪽이든 0 < −1. 그러나 0 < 1 에서 −1 < 0 이므로 삼분법에 모순이다.(4), (5), A2, A3, A8, F
(7)그러므로 그러한 순서는 없다. ℝ 이 갖던 순서를 ℂ 는 갖지 못한다.(6)
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따름정리 C
확장은 공짜가 아니다.
증명.
(1)ℕ → ℤ 에서 정렬 원리를 잃는다.T1
(2)ℤ → ℚ 에서 이산성을 잃는다.T2
(3)ℝ → ℂ 에서 순서를 잃는다.T3
(4)넓어질 때마다 값을 치른다. 어느 성질을 지킬지 고르는 것이 확장을 정한다 (증명 10).(1), (2), (3)
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비고
A9 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
순서가 곱셈과 양립해야 한다는 요구를 빼면, ℂ 에 순서를 주는 것이 정말 불가능한지 확인하라.