PROOF 88
증명하라.
복소수는 크기를 비교할 수 없다
복소수 ℂ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
순서체는 체의 연산 위에 관계 < 를 가지며, 그 < 가 A1 부터 A4 까지를 모두 만족하는 수 체계다.
증명.
삼분법·추이성·덧셈과 순서·곱셈과 순서, 넷을 모두 요구한다.A1, A2, A3, A4
∎
보조정리 L1
0 < 1
증명.
(1)1 ≠ 0A11
(2)1 < 0 이라 하자.가정, A1
(3)1 + (−1) < 0 + (−1)(2), A3
(4)1 + (−1) = 0 이고 0 + (−1) = −1 이다.A6, A7, A5
(5)그러므로 0 < −1 이다.(3), (4), E
(6)0 < (−1)(−1)(5), A4
(7)(−1)(−1) = 1 × 1 = 1A9, A8
(8)그러므로 0 < 1 이다.(6), (7), E
(9)1 < 0 과 0 < 1 은 삼분법에 어긋난다.(2), (8), A1
(10)1 ≠ 0 이므로 0 < 1 이다.(1), (9), A1
∎
보조정리 L2
−1 < 0
증명.
(1)0 < 1L1
(2)0 + (−1) < 1 + (−1)(1), A3
(3)0 + (−1) = −1 이고 1 + (−1) = 0 이다.A7, A5, A6
(4)그러므로 −1 < 0 이다.(2), (3), E
∎
정리 T
ℂ 는 순서체가 될 수 없다.
증명.
(1)ℂ 가 순서체라 하자.가정, D1
(2)i × i = −1A12
(3)−1 < 0L2
(4)i = 0 이면 i × i = 0 이고, (3)에 의해 −1 ≠ 0 이므로 i ≠ 0 이다.(2), (3), A10, A1
(5)그러므로 0 < i 이거나 i < 0 이다.(4), A1
(6)0 < i 이면 0 < i × i 이다.(5), A4
(7)i < 0 이면 i + (−i) < 0 + (−i), 즉 0 < −i 이다.(5), A3, A6, A7, A5
(8)그러면 0 < (−i)(−i) 이다.(7), A4
(9)(−i)(−i) = i × iA9
(10)어느 경우에나 0 < i × i 이다.(5), (6), (8), (9), E
(11)i × i = −1 이므로 0 < −1 이다.(2), (10), E
(12)−1 < 0 과 0 < −1 은 삼분법에 어긋난다.(3), (11), A1
(13)ℂ 에는 그러한 순서가 없다.(12)
∎
비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
네 공리 중 하나만 뺀다. i 를 양쪽 어디에 놓아도 모순이 생기는지 다시 확인하라.