−n · 음수
0 아래로 이어지며 방향이 생긴 수, 음수
3℃에서 기온이 5℃ 내려갔다. 지금 몇 도일까? (3 − 5의 답은?)
위치와 방향을 함께 읽습니다.
한때 '있을 수 없는 수'라 거부당했던 수
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 익숙한 수의 바깥으로 · 1/3
이 질문이 왜 필요할까요?
자연수와 분수만으로는 '3에서 5를 빼라'에 답이 없었습니다. 그런데 세상에는 답이 필요한 상황이 많았어요. 영하의 추위, 지하층, 갚아야 할 빚 같은 것들이요.
해법은 0에서 멈추던 수직선을 왼쪽으로 늘리는 것이었습니다. 0보다 1 작은 수를 −1, 2 작은 수를 −2라고 부르면 3 − 5 = −2가 돼요. 모든 뺄셈에 답이 생깁니다.
덤으로 수가 방향을 갖게 됐습니다. +는 오른쪽, −는 왼쪽이에요. 온도, 지하층, 통장 잔고처럼 기준점 양쪽으로 펼쳐진 세계를 하나의 수로 담게 됐습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 지금 3℃인데 기온이 5℃ 내려간다면? 3 − 5의 답은?
온도계를 움직여보세요
3℃에서 시작합니다. 0 아래로 내려가면 무슨 일이 벌어질까요?
3℃
지금 온도
수의 세계에서 음수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
음수는 0을 기준으로 반대쪽을 나타내는 수입니다. 덧셈을 이동으로 보면 음수를 더하는 일과 양수를 더하는 일의 차이는 이동 방향에서 드러납니다.
잔고가 3인 상태에서 5를 지출하면 3−5=−2입니다. 수직선에서는 3에서 왼쪽으로 5만큼 이동한 곳입니다. 수직선 밖으로 떨어진 것이 아니라 0의 반대편으로 간 것입니다.
음수의 핵심은 크기가 아니라 방향이다.
−3은 '3만큼, 반대쪽으로'라는 뜻입니다. 수에 방향이 실리는 순간 뺄셈은 반대 방향으로 가기가 돼요. 이 생각이 나중에 벡터로 자랍니다.
0은 끝이 아니라 한가운데다.
음수를 받아들이면 0의 자리가 바뀝니다. 수직선의 왼쪽 끝이 아니라 중심이 돼요. 기준점 양쪽을 보는 이 눈이 좌표와 그래프의 출발점입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
빚이나 방향은 음수를 이해하는 예시입니다. 음수 곱셈의 규칙은 그 비유만으로 확정하지 않고 분배법칙 등과의 일관성으로 확인합니다.
온도계 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 화살표 뒤집기 실험과 짝지어 보기
× =
음수의 정의
0보다 n만큼 작은 수가 −n입니다. 수직선을 왼쪽으로 늘리면 모든 뺄셈에 답이 생겨요.
크기 비교
수직선에서 왼쪽일수록 작습니다. 영하 5도가 영하 2도보다 추운 것과 같아요.
부호의 곱셈
×(−1)은 방향 뒤집기입니다. 두 번 뒤집으면 제자리예요. 암기가 아니라 뒤집기의 논리입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
−5는 −2보다 크다. 5가 2보다 크니까.
수직선에서 −5는 −2보다 왼쪽에 있으니 더 작습니다. 영하 5도가 영하 2도보다 춥잖아요. 음수에서는 붙은 숫자가 클수록 오히려 작은 수입니다.
음수 곱하기 음수가 양수인 것은 그냥 외우는 규칙이다.
(−1)을 곱하는 것은 방향 뒤집기입니다. 한 번 뒤집으면 반대쪽, 두 번 뒤집으면 제자리예요. 거울을 두 번 비추면 원래 모습이 되는 것과 같습니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
날씨와 온도
영하 12℃는 −12℃입니다. 일기예보의 겨울 숫자가 음수예요. '어제보다 7도 떨어짐' 같은 변화도 −7로 적습니다.
통장 잔고와 빚
잔고 −50,000원은 5만원을 갚아야 한다는 뜻입니다. 회계에서 손해를 뜻하는 적자(赤字)는 음수를 빨간색으로 쓰던 관습에서 온 말이에요.
엘리베이터와 해발
지하 3층은 B3, 즉 −3층입니다. 해저 200m는 해발 −200m예요. 기준 아래를 세는 언어가 음수입니다.
스포츠 기록
골프의 −7(언더파)은 기준 타수보다 7타 적다는 뜻입니다. 골프에서는 음수가 좋은 성적이에요. 축구의 골득실 −2도 같은 문법입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
−2보다 −5가 작은 이유를 수직선으로 설명해 보세요.
생각한 뒤 설명 확인하기
−5가 더 왼쪽에 있기 때문입니다. 절댓값이 크다는 것과 수 자체가 크다는 것은 다른 질문입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. −4와 −9 중 어느 쪽이 큰 수일까요?
2. 기온 2℃에서 7℃ 내려가면 몇 도가 될까요?
3. (−2) × (−3)은 얼마일까요?
4. (−1)을 5번 곱한 수의 부호는 무엇일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1−3과 −7 중 어느 쪽이 큰 수일까요?답 보기 ▾
−3입니다. 수직선에서 −3이 −7보다 오른쪽, 즉 0에 더 가까이 있으니까요. 영하 3도가 영하 7도보다 따뜻한 것과 같습니다.
Q2(−2) + 5는 얼마일까요? 온도계로 생각해 보세요.답 보기 ▾
영하 2도에서 5도 오르면 영상 3도입니다. 그래서 (−2) + 5 = 3이에요. 음수의 덧셈은 수직선 위의 이동으로 보면 헷갈리지 않습니다.
Q3(−3) × (−4)는 왜 +12일까요?답 보기 ▾
3 × 4 = 12에 뒤집기가 두 번 들어 있습니다. ×(−1)이 두 개면 방향이 두 번 뒤집혀 제자리(+)예요. 뒤집기 횟수가 홀수면 −, 짝수면 +입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
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