증명하라.

(−1) × (−1) = 1

정수 ℤ 위에서. 연산은 + 와 × 두 개.

한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다

먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.

정의 D1

−1 은 1 + (−1) = 0 을 만족하는 수다.

증명.

그러한 수의 존재는 A3이 보장한다.A3

∎

보조정리 L1

모든 a 에 대하여 a × 0 = 0

증명.

(1)0 + 0 = 0A1

(2)a(0 + 0) = a × 0E

(3)a×0 + a×0 = a×0A6

(4)(a×0 + a×0) + (−(a×0)) = a×0 + (−(a×0))E

(5)a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = 0A2, A3

(6)a×0 + 0 = 0A3

(7)a × 0 = 0A1

∎

보조정리 L2

x + a = 0 이고 y + a = 0 이면 x = y

증명.

(1)x = x + 0A1

(2)　 = x + (y + a)가정

(3)　 = x + (a + y)A4

(4)　 = (x + a) + yA2

(5)　 = 0 + y가정

(6)　 = yA4, A1

∎

정리 T

(−1) × (−1) = 1

증명.

(1)1 + (−1) = 0D1

(2)(−1) + 1 = 0(1), A4

(3)(−1)((−1) + 1) = (−1) × 0(2), E

(4)(−1)(−1) + (−1)×1 = (−1) × 0(3), A6

(5)(−1) × 1 = −1A5

(6)(−1)(−1) + (−1) = (−1) × 0(4), (5)

(7)(−1)(−1) + (−1) = 0(6), L1

(8)(−1) × (−1) = 1(7), (1), L2

∎

비고

A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.

제거하면 어느 줄이 근거를 잃는지 확인하라.