PROOF 81
증명하라.
(−a)b = −(ab)
정수 ℤ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
−a 는 a + x = 0 을 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 의 존재는 A4 가, 그것이 하나뿐임은 A5 가 보장한다.A4, A5
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보조정리 L1
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A1
(2)a(0 + 0) = a × 0(1), E
(3)a×0 + a×0 = a×0(2), A6
(4)(a×0 + a×0) + (−(a×0)) = a×0 + (−(a×0))(3), E
(5)a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = 0(4), A2, A4
(6)a×0 + 0 = 0(5), A4
(7)a × 0 = 0(6), A1
∎
정리 T
모든 a, b 에 대하여 (−a)b = −(ab)
증명.
(1)(−a) + a = 0D1, A3
(2)((−a) + a)b = 0 × b(1), E
(3)((−a) + a)b = b((−a) + a) = b(−a) + baA7, A6
(4) = (−a)b + ab(3), A7
(5)0 × b = b × 0 = 0A7, L1
(6)(−a)b + ab = 0(2), (4), (5)
(7)(−(ab)) + ab = 0D1, A3
(8)둘 다 ab 의 덧셈 역원이므로 (−a)b = −(ab)(6), (7), A5
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따름정리 C
모든 a, b 에 대하여 (−a)(−b) = ab
증명.
(1)(−a)(−b) = −(a(−b))T
(2)a(−b) = (−b)a = −(ba) = −(ab)A7, T
(3)(−a)(−b) = −(−(ab))(1), (2), E
(4)ab + (−(ab)) = 0 이고 (−(−(ab))) + (−(ab)) = 0D1, A3
(5)−(−(ab)) = ab(4), A5
(6)그러므로 (−a)(−b) = ab(3), (5)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
(−a)b 는 어디에서도 계산되지 않는다. 그 값이 정해지는 자리가 어느 줄인지 확인하라.