증명하라.

덧셈 역원은 유일하다

정수 ℤ 위에서.

한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다

먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.

정의 D1

x 가 a 의 덧셈 역원이라는 것은 x + a = 0 을 뜻한다.

증명.

여기서 0 은 A1 의 항등원이다. 역원이 있는지는 묻지 않는다.A1

∎

정리 T

x 와 y 가 모두 a 의 덧셈 역원이면 x = y

증명.

(1)x + a = 0 이고 y + a = 0가정, D1

(2)x = x + 0A1

(3)　 = x + (y + a)(1)

(4)　 = x + (a + y)A3

(5)　 = (x + a) + yA2

(6)　 = 0 + y(1)

(7)　 = y + 0A3

(8)　 = yA1

∎

따름정리 C

a 의 덧셈 역원을 −a 로 쓰는 것은 정당하다.

증명.

(1)a 의 덧셈 역원이 있다면 그것은 하나뿐이다.T

(2)둘 이상이면 −a 가 그 중 어느 것인지 정해지지 않는다.D1, 약속

(3)그러므로 −a 는 하나의 수를 가리킨다.(1), (2)

∎

비고

A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.

두 역원 x 와 y 는 (5) 에서 처음으로 만난다. 그 줄이 무엇에 기대는지 확인하라.