PROOF 07
증명하라.
a − b = a + (−b)
정수 ℤ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a − b 는 x + b = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 덧셈을 거꾸로 묻는 것이다. 이 정의는 그러한 x 가 있는지를 아직 말하지 않는다.약속
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보조정리 L1
모든 a, b 에 대하여 (a + (−b)) + b = a
증명.
(1)(a + (−b)) + b = a + ((−b) + b)A2
(2)(−b) + b = b + (−b)A4
(3) = 0A3
(4)(a + (−b)) + b = a + 0(1), (3), E
(5) = aA1
∎
보조정리 L2
x + b = a 이고 y + b = a 이면 x = y
증명.
(1)x = x + 0A1
(2) = x + (b + (−b))A3
(3) = (x + b) + (−b)A2
(4) = a + (−b)가정
(5)같은 계산으로 y = a + (−b)A1, A3, A2, 가정
(6)x = y(4), (5)
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정리 T
a − b = a + (−b)
증명.
(1)a + (−b) 는 x + b = a 를 만족한다.L1
(2)그것을 만족하는 x 는 많아야 하나다.L2
(3)그러므로 D1 이 정하는 값은 a + (−b) 하나다.D1, (1), (2)
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
−b 가 나타나는 줄을 하나씩 확인하라.