ax+b · 일차함수
일정한 속도로 변하는 관계, 일차함수
기본요금 4,800원에 1km마다 800원. 12km 요금을 미리 알 수 있을까?
기울기와 시작값을 나누어 봅니다.
숫자 두 개로 무한한 미래를 예측하는 식
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 입력에서 출력으로 · 2/3
이 질문이 왜 필요할까요?
택시 요금, 휴대폰 요금제, 렌터카 비용처럼 '기본요금 + 사용량 × 단가' 구조는 우리 주변 계약의 절반을 차지합니다.
이 구조의 특징은 일정함이에요. 1km를 더 가면 언제나 정확히 800원이 더 나옵니다. 어디서 출발했든, 변화의 속도가 항상 같아요.
이 일정한 변화를 y = ax + b 한 줄로 압축한 것이 일차함수입니다. a(기울기)와 b(절편) 두 수만 알면 무한한 경우를 전부 예측할 수 있어요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 기본요금 4,800원, 1km마다 800원. 12km를 가면 요금이 얼마일까요?
미터기 — +1km씩 달려보세요
지금까지
0km
요금
4,800원
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
일차함수에서 기울기는 입력이 한 단위 변할 때 출력이 얼마나 변하는지를 나타내고, 절편은 입력 0에서의 출력입니다. 변화의 규칙과 출발점을 나누어 읽으면 식이 두 가지 정보를 담고 있음을 알 수 있습니다.
y=2x+3에서는 x가 1 늘 때 y가 2 늘어납니다. x=0일 때 y=3입니다. x를 두 배로 한다고 y도 두 배가 되는 것은 아니므로 정비례와 구분해야 합니다.
기울기는 미분의 씨앗이다.
일차함수의 기울기는 'x가 1 커질 때 y가 얼마나 변하는가'입니다. 이 질문을 곡선의 한 점에서 묻기 시작하면 그것이 곧 미분이에요. 일차함수를 이해하면 미분의 절반을 이해한 것입니다.
세상의 계약서는 대부분 직선이다.
기본료+단가 구조가 많은 이유는 계산과 예측이 쉽기 때문입니다. 직선은 인간이 다루기 가장 편한 관계예요. 그래서 복잡한 곡선도 일단 직선으로 근사하고 봅니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
기울기가 0이 아닌 일차함수와 상수함수를 구분합니다. 현실의 직선 모형은 적용 구간이 있을 수 있습니다.
요금제 실험에서 조작한 두 슬라이더가 곧 일차함수의 전부입니다.
공식 해부 — 택시 미터기 실험과 짝지어 보기
= +
일차함수의 표준형
a는 기울기(1km당 요금), b는 y절편(기본요금)입니다. 두 수가 직선 하나를 완전히 결정해요.
기울기의 정의
어느 두 점을 골라도 이 비율이 같습니다. 그것이 '일정한 변화'의 수학적 표현이에요.
교차점 (손익분기점)
두 요금제가 같아지는 지점입니다. 실험에서 두 직선이 만나던 그 점을 방정식으로 구한 것이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
기울기가 크면 y값도 크다.
기울기는 '빠르기'지 '크기'가 아닙니다. 기본요금이 비싸고 단가가 싼 요금제(절편↑ 기울기↓)는 처음엔 y가 더 크지만, 언젠가 역전당해요. 교차점 이후의 승자는 기울기가 결정합니다.
직선의 방정식은 그래프 문제에서만 쓰인다.
환율 계산, 요금제 선택, 예산 계획, 그리고 머신러닝의 선형회귀까지, '일정한 비율의 변화'가 있는 모든 곳에서 일차함수가 실제 판단 도구로 쓰입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
요금제 선택
기본료 높고 단가 싼 요금제와 그 반대 중 고르려면, 내 사용량이 교차점보다 많은지 하나만 확인하면 됩니다.
환율과 수수료
환전 금액 = 환율 × 외화 + 수수료입니다. 고정 수수료(절편)와 환율(기울기)의 전형적인 일차 구조예요.
감가상각
정액법 감가상각은 매년 같은 금액씩 하락합니다. 기울기가 음수인 일차함수예요.
머신러닝의 출발점
선형회귀는 데이터에 가장 잘 맞는 a와 b를 찾는 문제입니다. AI의 첫걸음이 일차함수 위에 서 있어요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
y=2x+3은 왜 정비례가 아닌가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
입력과 출력의 비가 일정하지 않고 원점을 지나지 않습니다. 기본값 3이 함께 더해져 있기 때문입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 기본요금 4,800원에 1km마다 800원이 붙습니다. 12km를 달리면 요금은 몇 원일까요?
2. y = ax + b에서 기울기 a만 키우면 직선은 어떻게 될까요?
3. 기본료가 비싸고 단가가 싼 요금제 A와 그 반대인 B. 아주 오래 쓰면 누가 유리할까요?
4. 요금제 A는 y = 800x + 4,800, B는 y = 1,000x + 3,000입니다. 두 요금이 같아지는 거리는?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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