PROOF 22
증명하라.
수직이면 기울기의 곱은 −1
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
원점을 지나고 기울기가 m 인 직선은 y = mx 이며, 점 (1, m) 을 지난다.
증명.
(1)두 직선의 수직 여부는 평행이동으로 변하지 않으므로 둘 다 원점을 지난다고 둔다.약속
(2)x = 1 을 대입하면 y = m 이다.(1), A7
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보조정리 L1
O = (0, 0), P = (1, m) 이면 OP² = 1 + m²
증명.
(1)H = (1, 0) 으로 둔다.약속
(2)m = 0 이면 P = H 이고 OP = 1 이므로 OP² = 1 = 1 + 0²(1), A3, A15
(3)이제 m ≠ 0 이라 하자.가정
(4)OH 는 가로 선분이고 OH = 1, HP 는 세로 선분이고 HP = |m|(1), A3
(5)삼각형 OHP 는 H 에서 직각이고 빗변은 OP 이다.(4), A2
(6)OP² = OH² + HP² = 1 + |m|²(5), (4), A1
(7)OP² = 1 + m²(6), A4
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보조정리 L2
모든 u, v 에 대하여 (u − v)² = u² − 2uv + v²
증명.
(1)(u − v)² = (u + (−v))(u + (−v))약속
(2) = u(u + (−v)) + (−v)(u + (−v))(1), A5, A6
(3)u(u + (−v)) = u² + u(−v) = u² + (−(uv))A5, A8
(4)(−v)(u + (−v)) = (−v)u + (−v)(−v) = (−(uv)) + v²A5, A6, A8, A9
(5)(−(uv)) + (−(uv)) = (1 + 1)(−(uv)) = 2(−(uv))A5, A6, A7
(6)2(−(uv)) = −(2(uv)) 이며, 이를 −2uv 로 쓴다.(5), A8, 약속
(7)(u − v)² = u² − 2uv + v²(2), (3), (4), (6), A10, A11
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정리 T
기울기가 m₁, m₂ 인 두 직선이 서로 수직이면 m₁m₂ = −1
증명.
(1)두 직선을 y = m₁x, y = m₂x 로 두고 원점에서 수직이라 하자.가정, D1
(2)A = (1, m₁), B = (1, m₂) 는 각각 두 직선 위의 점이다.D1
(3)삼각형 OAB 는 O 에서 직각이고 빗변은 AB 이다.(1), (2)
(4)OA² + OB² = AB²(3), A1
(5)OA² = 1 + m₁², OB² = 1 + m₂²L1
(6)A 와 B 는 x좌표가 같으므로 AB 는 세로 선분이고 AB = |m₁ − m₂|(2), A3
(7)AB² = (m₁ − m₂)²(6), A4
(8)(1 + m₁²) + (1 + m₂²) = (m₁ − m₂)²(4), (5), (7)
(9)(m₁ − m₂)² = m₁² + m₂² + (−(2m₁m₂))L2, A10, A11
(10)(m₁² + m₂²) + 2 = (m₁² + m₂²) + (−(2m₁m₂))(8), (9), A10, A11
(11)2 = −(2m₁m₂)(10), A12
(12)2 × 1 = 2 이고 −(2m₁m₂) = 2(−(m₁m₂))A7, A8
(13)0 ≠ 2 이므로 1 = −(m₁m₂)(11), (12), A15, A13
(14)m₁m₂ + (−(m₁m₂)) = 0 이므로 m₁m₂ + 1 = 0A14, (13), E
(15)역원은 유일하므로 m₁m₂ = −1(14), A14
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
−1 이 대수에서 나오는지 기하에서 나오는지 확인하라. 전개하는 줄과 길이를 재는 줄을 나누어 보라.