PROOF 30
증명하라.
일차함수의 그래프는 직선이다
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
서로 다른 두 점 P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) 에서 x₁ ≠ x₂ 일 때, 기울기는 m(P, Q) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) 이다.
증명.
(1)x₁ = x₂ 이면 분모가 0 이므로 기울기는 정의되지 않는다.약속
(2)u − v 는 u + (−v) 를 뜻한다.약속
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정의 D2
서로 다른 세 점 P, Q, R 에 대하여 m(P, Q) = m(Q, R) 일 때, 세 점은 한 직선 위에 있다고 한다.
증명.
좌표평면에서 「한 직선 위」는 그림이 아니라 이 등식으로 정한다.약속
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정의 D3
점 A 와 수 m 에 대하여 ℓ(A, m) 은 A 자신과, A 와의 기울기가 m 인 점 전체의 집합이다.
증명.
P ∈ ℓ(A, m) ⟺ P = A 또는 m(A, P) = m약속, D1
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보조정리 L1
G 를 y = ax + b 의 그래프라 하면, G 위의 서로 다른 두 점의 기울기는 언제나 a 이다.
증명.
(1)두 점을 P₁(x₁, ax₁ + b), P₂(x₂, ax₂ + b) 라 하고 P₁ ≠ P₂ 라 하자.가정
(2)x₁ = x₂ 이면 ax₁ + b = ax₂ + b 이므로 두 점이 같다. 그러므로 x₁ ≠ x₂ 이다.(1), E
(3)y₂ − y₁ = (ax₂ + b) + (−(ax₁ + b))D1
(4)−(ax₁ + b) = (−(ax₁)) + (−b)A7
(5)y₂ − y₁ = (ax₂ + (−(ax₁))) + (b + (−b)) = ax₂ + (−(ax₁))(3), (4), A2, A3, A5, A4
(6)a(x₂ − x₁) = a(x₂ + (−x₁)) = ax₂ + a(−x₁)D1, A1
(7)a(−x₁) = −(ax₁) 이므로 a(x₂ − x₁) = ax₂ + (−(ax₁))(6), A8
(8)y₂ − y₁ = a(x₂ − x₁)(5), (7)
(9)x₂ − x₁ ≠ 0(2), A9
(10)m(P₁, P₂) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = a(8), (9), D1, A6
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정리 T1
G 위의 서로 다른 세 점은 한 직선 위에 있다.
증명.
(1)세 점을 P, Q, R 라 하자.가정
(2)m(P, Q) = aL1
(3)m(Q, R) = aL1
(4)m(P, Q) = m(Q, R) 이므로 세 점은 한 직선 위에 있다.(2), (3), D2
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정리 T2
A = (0, b) 라 하면 G = ℓ(A, a) 이다. 즉 그래프는 A 를 지나고 기울기가 a 인 직선이며, 그 직선의 점은 모두 그래프 위에 있다.
증명.
(1)a × 0 + b = 0 + b = b 이므로 A = (0, b) 는 G 위에 있다.A10, A3, A4
(2)P(p, ap + b) ∈ G 이고 P ≠ A 라 하자.가정
(3)m(A, P) = a(1), (2), L1
(4)그러므로 G ⊆ ℓ(A, a) 이다.(1), (3), D3
(5)거꾸로 Q(p, q) ∈ ℓ(A, a) 이고 Q ≠ A 라 하자.가정
(6)m(A, Q) = (q − b)/(p − 0) = (q − b)/p = a 이고 p ≠ 0 이다.(5), D3, D1, A4
(7)q − b = ap(6), A6
(8)양변에 b 를 더하면 q = ap + b 이므로 Q ∈ G 이다.(7), A2, A3, A5, A4
(9)그러므로 ℓ(A, a) ⊆ G 이다.(1), (5), (8)
(10)두 포함이 모두 성립하므로 G = ℓ(A, a)(4), (9)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
직선 위의 점이 식을 만족하는 것과, 식을 만족하는 점이 한 직선을 이루는 것은 같은 일이 아니다. 어느 쪽이 무엇에 기대는지 확인하라.