PROOF 121
증명하라.
평행이면 기울기가 같다
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
직선 ℓ(m, b) 는 y = mx + b 를 만족하는 점 (x, y) 전체의 집합이다. 즉 (x, y) ∈ ℓ(m, b) ⟺ y = mx + b
증명.
여기서는 세로 직선을 다루지 않는다. 두 직선 모두 기울기를 갖는다고 둔다.약속
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정의 D2
서로 다른 두 직선이 공통의 점을 하나도 갖지 않을 때, 두 직선은 평행하다고 한다.
증명.
(1)평행은 그림이 아니라 「만나지 않는다」로 정한다.약속
(2)겹치는 두 직선은 서로 다르지 않으므로 이 정의에서 제외된다.약속
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보조정리 L1
m₁ ≠ m₂ 이면 ℓ(m₁, b₁) 과 ℓ(m₂, b₂) 는 공통의 점을 갖는다.
증명.
(1)m₁ ≠ m₂ 이므로 m₁ − m₂ ≠ 0가정, A8
(2)s = 1/(m₁ − m₂) 라 두면 (m₁ − m₂)s = 1(1), A6
(3)x₀ = (b₂ − b₁)s, y₀ = m₁x₀ + b₁ 이라 하자.(2)
(4)(x₀, y₀) ∈ ℓ(m₁, b₁)(3), D1
(5)(m₁ − m₂)x₀ = (b₂ − b₁)((m₁ − m₂)s) = (b₂ − b₁) × 1 = b₂ − b₁(2), (3), A4, A5
(6)(m₁ − m₂)x₀ = m₁x₀ − m₂x₀ 이므로 m₁x₀ − m₂x₀ = b₂ − b₁(5), A1, A7
(7)양변에 m₂x₀ + b₁ 을 더하면 m₁x₀ + b₁ = m₂x₀ + b₂(6), E, A2, A3
(8)y₀ = m₂x₀ + b₂ 이므로 (x₀, y₀) ∈ ℓ(m₂, b₂)(3), (7), D1
(9)그러므로 두 직선은 (x₀, y₀) 에서 만난다.(4), (8)
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정리 T1
두 직선이 평행하면 기울기가 같다.
증명.
(1)L1 의 대우는 두 직선이 만나지 않으면 m₁ = m₂ 이다.L1, A11
(2)평행하면 공통의 점이 없다.D2
(3)그러므로 평행하면 m₁ = m₂(1), (2)
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정리 T2
m₁ = m₂ 이고 b₁ ≠ b₂ 이면 두 직선은 평행하다.
증명.
(1)m = m₁ = m₂ 라 하자.가정
(2)공통의 점 (x, y) 가 있다고 하자.가정
(3)y = mx + b₁ 이고 y = mx + b₂(1), (2), D1
(4)mx + b₁ = mx + b₂ 이므로 b₁ = b₂(3), A9
(5)이는 b₁ ≠ b₂ 에 어긋난다.(4), 가정
(6)그러므로 공통의 점이 없다.(5)
(7)m × 0 + b₁ = b₁ 이므로 (0, b₁) 은 ℓ(m, b₁) 에만 있고 두 직선은 서로 다르다.(1), 가정, A10, A3, D1
(8)그러므로 두 직선은 평행하다.(6), (7), D2
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따름정리 C
두 직선의 관계는 세 가지뿐이다. 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 같은 직선이다.
증명.
(1)m₁ ≠ m₂ 이면 만나고, 그 점은 하나뿐이다.L1, A12
(2)m₁ = m₂ 이고 b₁ ≠ b₂ 이면 평행하다.T2
(3)m₁ = m₂ 이고 b₁ = b₂ 이면 두 집합이 같으므로 같은 직선이다.D1
(4)세 경우가 모든 경우를 덮는다.(1), (2), (3)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
만나지 않음을 보이는 줄과 만남을 보이는 줄을 나누어 보라. 한쪽만 나눗셈을 쓴다.