f(x) · 함수
넣으면 하나가 나오는 상자, 함수
우리는 아주 오래전부터, 무언가를 넣으면 다른 것이 나오는 '함'을 사용하고 있었습니다.
한 입력에 출력이 하나로 정해진다는 말과 일대일 대응을 구분합니다.
간단한 계산 규칙과 숫자 표에서 시작합니다.
수학의 절반이 그 위에 세워진, 단 하나의 상자
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 입력에서 출력으로 · 1/3
같은 입력을 넣으면 무엇이 나올까요?
어떤 장치가 입력한 수를 두 배로 만들고 1을 더한다고 해봅시다. 1을 넣으면 3, 2를 넣으면 5가 나옵니다. 이 규칙을 f(x)=2x+1이라고 쓸 수 있습니다.
f는 규칙의 이름이고 x는 입력입니다. f(x)는 그 입력을 넣은 결과를 뜻합니다. f와 x를 곱하라는 뜻은 아닙니다. 같은 일을 표로 쓰거나 그래프 위의 점으로 그릴 수도 있습니다.
함수에서 중요한 것은 허용한 입력 하나에 출력이 하나씩 정해진다는 것입니다. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는 것은 괜찮습니다. f(x)=x²에서는 2와 −2가 모두 4로 갑니다.
반대로 같은 입력에서 서로 다른 두 값을 동시에 출력으로 정하면, 그 대응은 그 입력에 대한 함수 규칙이 아닙니다. 출력의 유일함과 서로 다른 입력의 출력이 달라야 한다는 조건은 서로 다릅니다.
어떤 입력을 허용하는지도 함께 정해야 합니다. f(x)=1/x에서는 실수 0을 넣을 수 없습니다. 식만 보지 말고 입력의 범위도 읽어 보세요.
이 기호를 함께 읽으면
- f(x)
- 함수 f에 x를 넣었을 때의 출력입니다.
- x ∈ D
- D는 넣을 수 있는 입력들의 집합, 정의역입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
안에서 무슨 일이 일어나는지 몰라도, 사과를 넣으면 항상 사과주스가 나오는 상자. 우리는 이런 걸 함(상자)이라 부릅니다. 숫자를 먹는 함도 있을까요?
실험 1 — 수수께끼 상자
실험 2 — 고장난 상자
이 상자에는 항상 같은 수 5만 넣습니다. 여러 번 넣어보세요.
실험 3 — 나만의 Function 조립하기
부품 두 개를 골라 상자 안에 넣으세요. 세상에 없던 함수가 태어납니다.
표와 그래프와 식은 같은 규칙을 말합니다
함수는 입력을 넣으면 출력이 나오는 규칙입니다. 중요한 것은 입력 하나에 출력 하나가 정해진다는 점이며, 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는 것은 허용됩니다.
f(x)=x²에서는 2와 −2가 모두 4로 갑니다. 이 때문에 함수가 아닌 것은 아닙니다. 다만 출력을 보고 입력을 하나로 되돌리는 역함수에는 별도의 조건이 필요합니다.
함수는 기호가 아니라 신뢰다.
f(x)라는 표기가 어려워 보여도, 그 뜻은 '넣으면 정해진 것이 나온다'는 신뢰의 약속입니다. 과학과 공학이 함수 위에 서 있는 이유는 이 신뢰 덕분에 예측이 가능해지기 때문이에요.
그래프는 규칙을 한 장에 찍은 사진이다.
가능한 모든 입력-출력 쌍을 점으로 찍으면 그래프가 됩니다. 그래프를 읽는다는 것은 무한 개의 계산 결과를 한눈에 보는 것이에요.
한 입력에 출력이 하나라는 약속
정의역과 공역을 포함해 함수를 정합니다. 실값 확률변수는 표본 결과를 실수에 대응시키는 함수입니다.
자판기 실험에서 본 '입력 하나에 출력 하나'라는 약속을 수학의 언어로 쓰면 다음과 같습니다.
공식 해부 — 자판기 실험과 짝지어 보기
=
함수의 표기
X(정의역)의 원소 x를 넣으면 Y의 원소 f(x)가 나옵니다. f는 기계의 이름, x는 입력, f(x)는 출력이에요.
함수의 조건
입력이 같으면 출력도 같아야 합니다. 실험의 '고장난 자판기'는 이 조건을 어긴 것이에요.
그래프의 정의
모든 (입력, 출력) 쌍을 좌표평면에 찍은 점들의 모임입니다. 세로선 하나가 그래프와 두 번 만나면 함수가 아니에요(수직선 판정법).
여기서는 실값 확률변수를 다룹니다.
참고자료
- OpenStax · Principles of Data Science · 3.5 Random variables
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
함수는 y = f(x) 같은 수식이 있어야 한다.
수식은 함수를 적는 한 가지 방법일 뿐입니다. 요금표, 단어장(단어→뜻), 자판기 버튼도 전부 함수예요. 본질은 '입력 하나에 출력 하나'라는 약속이지 수식이 아닙니다.
출력이 같으면 함수가 아니다. (예: 모든 입력에 7이 나오는 기계)
거꾸로입니다. 서로 다른 입력이 같은 출력을 내는 것은 허용돼요(상수함수도 함수입니다). 금지된 것은 한 입력이 여러 출력을 갖는 것뿐이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
요금표와 정책
택시 요금, 소득세, 택배비처럼 사회의 규칙 대부분이 입력(거리, 소득, 무게)에 따라 출력(금액)이 정해지는 함수로 설계됩니다.
프로그래밍의 function
코드의 함수는 수학의 함수에서 이름을 가져왔습니다. 같은 입력에 같은 출력을 내는 함수(순수 함수)일수록 버그가 적어요.
AI 모델
ChatGPT도 결국 '입력 문장 → 출력 확률'의 거대한 함수입니다. AI를 배운다는 것은 좋은 함수를 찾는 법을 배우는 것이에요.
단위 변환
섭씨→화씨, 원→달러처럼 모든 변환기는 함수입니다. 믿을 수 있는 이유는 같은 입력에 항상 같은 출력이 나오기 때문이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
한 가지 설명과 비교하기
x²에서 2와 −2는 같은 출력 4를 갖지만, 각 입력의 출력은 하나입니다. 함수의 정의를 만족합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 무엇을 넣어도 항상 7이 나오는 기계가 있습니다. 이 기계는 함수일까요?
2. 같은 버튼을 눌렀는데 어제는 콜라, 오늘은 사이다가 나왔습니다. 이 자판기는 함수일까요?
3. 택배 요금표에는 수식이 없습니다. '무게 → 요금'은 함수일까요?
4. f(2) = 4이고 f(−2) = 4입니다. 출력 4에 입력이 둘 — 이 f는 함수 자격이 있을까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1f(3) = 9이고 f(−3) = 9인 함수가 있습니다. 한 출력(9)에 입력이 둘 — 이래도 함수일까요?답 보기 ▾
함수 맞습니다(f(x)=x²이 그렇죠). 금지된 것은 '한 입력에 여러 출력'뿐이고, '여러 입력이 같은 출력'은 허용돼요. 방향을 헷갈리는 것이 가장 흔한 실수입니다.
Q2'학생 → 앉은 자리'는 함수일까요? 그럼 '자리 → 학생'은요?답 보기 ▾
지정좌석제라면 둘 다 함수입니다(한 학생당 한 자리, 한 자리당 한 학생). 이렇게 양방향이 모두 함수인 관계에는 역함수가 존재해요. 되돌리기가 가능한 관계라는 뜻입니다.
Q3택배 요금표: 5kg까지 4,000원, 10kg까지 6,000원. 7.3kg 상자의 요금은 하나로 정해지나요? 이것은 함수인가요?답 보기 ▾
정해집니다. 6,000원이에요. 수식이 아니라 표로 정의됐지만 입력(무게)마다 출력(요금)이 하나이므로 완전한 함수입니다. 함수의 본질은 수식이 아니라 규칙의 신뢰성이에요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
오늘 붙잡은 생각
함수는 허용된 각 입력에 출력을 하나씩 정합니다. 다른 입력끼리 출력이 같은 것은 가능합니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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확률
확률변수 X는 표본 결과 ω에 수를 대응시키는 함수입니다. 주사위에서는 X(ω)=ω로 둘 수 있어요. 사건 A={2,4,6}에 확률 P(A)=1/2를 주는 확률 P와는 역할이 다릅니다.
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