PROOF 122
증명하라.
점과 직선 사이의 거리
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
점 P 와 직선 ℓ 사이의 거리 d(P, ℓ) 은, ℓ 위의 모든 점 Q 에 대하여 PH ≤ PQ 인 점 H ∈ ℓ 이 있을 때 그 PH 로 정한다.
증명.
그 H 를 수선의 발이라 부르지 않는다. 그것이 수선의 발인지는 L2 에서 확인한다.약속
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정의 D2
ℓ 은 ax + by + c = 0 을 만족하는 점 전체의 집합이며 a 와 b 는 동시에 0 이 아니다. 점 P(x₀, y₀) 에 대하여 k = ax₀ + by₀ + c, s = a² + b², t = k/s, H = (x₀ − ta, y₀ − tb) 라 한다.
증명.
(1)s ≠ 0 이므로 t 가 정해지고 ts = k((1/s)s) = k × 1 = kA14, A15, A17, A18
(2)b ≠ 0 이면 ℓ 은 y = (−a/b)x + (−c/b) 의 그래프이므로 기울기가 −a/b 인 직선이다.가정, A15, A16, A19, A20, A21, A6
(3)b = 0 이면 a ≠ 0 이고 ℓ 은 x = −c/a 인 점 전체, 곧 세로 직선이다.가정, A14, A15, A19, A20, A21, A22
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보조정리 L1
H 는 ℓ 위에 있다.
증명.
(1)a(x₀ − ta) + b(y₀ − tb) + c = (ax₀ + by₀ + c) − (a(ta) + b(tb))D2, A16, A19, A21
(2)a(ta) + b(tb) = ta² + tb² = t(a² + b²) = tsD2, A16, A17
(3)그러므로 그 값은 k − ts = k − k = 0(1), (2), D2, A20
(4)H 가 ax + by + c = 0 을 만족하므로 H ∈ ℓ(3), D2
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보조정리 L2
P ≠ H 이면 선분 PH 는 직선 ℓ 과 수직이다.
증명.
(1)P 와 H 의 좌표의 차는 x 방향으로 ta, y 방향으로 tb 이다.D2, A19, A20
(2)P ≠ H 이므로 t ≠ 0(1), A22
(3)b = 0 이면 tb = 0 이므로 PH 는 가로 선분이고, ℓ 은 세로 직선이므로 수직이다.(1), (2), D2, A22, A4
(4)a = 0 이면 ta = 0 이므로 PH 는 세로 선분이고, ℓ 은 기울기가 0 인 가로 직선이므로 수직이다.(1), (2), D2, A22, A4
(5)a ≠ 0 이고 b ≠ 0 이면 PH 의 기울기는 (tb)/(ta) = b/a(1), (2), A5, A15, A17
(6)ℓ 의 기울기는 −a/b 이고 (−a/b)(b/a) = −1 이므로 PH ⊥ ℓ(5), D2, A15, A17, A18, A21, A3
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보조정리 L3
ℓ 위의 모든 점 Q 에 대하여 PH ≤ PQ
증명.
(1)P = H 이면 PH = 0 이고 PQ ≥ 0 이므로 성립한다.A7
(2)P ≠ H 이고 Q = H 이면 PH = PQ가정
(3)이제 P ≠ H, Q ∈ ℓ, Q ≠ H 라 하자.가정
(4)H 와 Q 는 모두 ℓ 위에 있고 PH 는 ℓ 과 수직이므로 ∠PHQ 는 직각이다.(3), L1, L2, A23
(5)삼각형 PHQ 의 빗변은 PQ 이므로 PQ² = PH² + HQ²(4), A1
(6)HQ² ≥ 0 이므로 PH² ≤ PQ²(5), A9, A24
(7)길이는 음이 아니므로 PH ≤ PQ(6), A7, A8
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정리 T
d(P, ℓ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
증명.
(1)H ∈ ℓ 이고 모든 Q 에 대하여 PH ≤ PQ 이므로 d(P, ℓ) = PHL1, L3, D1
(2)PH² = (ta)² + (tb)² = t²(a² + b²) = t²sD2, A2, A16, A17
(3)PH ≥ 0 이므로 PH = √(t²s) = √(t²)·√s = |t|√s(2), A7, A10, A11, A13
(4)ts = k 이므로 |t|s = |t||s| = |ts| = |k|D2, A12, A13, A14
(5)√s·√s = √(s²) = s 이고 √s > 0 이므로 |t|√s = |k|/√s(4), A10, A11, A13, A15, A17
(6)그러므로 d(P, ℓ) = |k|/√s = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)(1), (3), (5), D2
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
수선을 그리는 줄과, 그것이 가장 짧다고 판정하는 줄을 나누어 보라. 공식이 어느 쪽에서 나오는지 확인하라.