x² · 이차함수
변화율 자체가 일정하게 변하는 관계, 이차함수
던진 공은 왜 하필 그 모양의 곡선을 그리며 날아갈까?
직선과 곡선의 차이를 읽습니다.
던진 돌이 포물선을 그린다는 걸 처음 밝혀낸 갈릴레오
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이 질문이 왜 필요할까요?
일차함수의 세계에서는 변화가 항상 일정했습니다. 하지만 던진 공은 달라요. 올라갈수록 느려지고, 정점을 지나면 점점 빨라지며 떨어집니다.
속도가 '일정하게 변하는' 운동입니다. 중력이 매 순간 같은 힘으로 잡아당기기 때문이에요. 이 구조를 담는 가장 단순한 함수가 x²이 들어간 이차함수입니다.
그리고 이차함수의 진짜 보물은 꼭짓점이에요. 가장 높은 점, 가장 싼 지점, 가장 큰 이익처럼 '최적'을 묻는 인류의 질문이 처음으로 답을 얻는 곳입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 같은 힘으로 던질 때, 몇 도로 던져야 가장 멀리 날아갈까요?
각도를 조절해 공을 던져보세요 (높이 2m에서, 같은 힘으로)
날아간 거리
21.3m
최고 높이 (꼭짓점)
7.9m
내 최고 기록
-
주황 점이 꼭짓점입니다. 곡선은 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이에요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
이차함수는 입력이 같은 간격으로 변해도 출력의 증가량이 일정하지 않습니다. 완전제곱식으로 고쳐 쓰면 그래프의 중심과 최댓값·최솟값이 더 잘 드러납니다.
x²−4x+3=(x−2)²−1입니다. 제곱항은 실수에서 0 이상이므로 x=2일 때 최솟값 −1을 갖습니다. 꼭짓점 공식을 외우기 전에 이 식이 보여주는 구조를 읽어 봅시다.
이차함수는 '변화의 변화'를 담는 첫 번째 그릇이다.
일차함수는 변화가 일정한 세계이고, 이차함수는 변화율이 일정하게 변하는 세계입니다. 속도가 아니라 가속도가 일정한 운동이에요. 중력 아래의 모든 궤적이 포물선인 이유입니다.
꼭짓점에서는 잠시 모든 것이 멈춘다.
공이 정점을 지나는 순간, 위아래 속도는 정확히 0입니다. '변화가 0이 되는 지점에 최대가 있다'는 이 관찰이 훗날 미분으로 최적화를 푸는 열쇠가 돼요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
이차항 계수의 부호에 따라 위로 또는 아래로 열립니다. 정의역이 제한되면 극값 판단도 함께 달라집니다.
슛 실험에서 본 곡선을 수식으로 정리하면, 조작했던 것들의 정체가 드러납니다.
공식 해부 — 농구 슛 실험과 짝지어 보기
y = + +
이차함수의 일반형
a의 부호가 곡선의 방향(∪/∩)을, a의 크기가 폭을, c가 y절편(출발 높이)을 정합니다.
꼭짓점의 위치
최대와 최소가 일어나는 지점입니다. 대칭축이기도 해요. 올라간 시간과 내려온 시간이 같은 이유입니다.
포물선 운동
던진 공의 높이입니다. −(1/2)gt²이 중력의 몫, v₀t가 던진 속도의 몫, h₀가 출발 높이예요. 물리와 수학이 같은 식을 씁니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
45도로 던지면 항상 가장 멀리 간다.
공기 저항이 없고 같은 높이에서 던질 때만 45°가 최적입니다. 던지는 높이가 착지점보다 높으면(농구 슛, 포환던지기) 최적각은 45°보다 작아져요. 모델의 가정을 확인하는 것이 수학적 사고입니다.
포물선의 꼭짓점은 그래프 문제를 위한 개념이다.
꼭짓점은 '최적화'의 원형입니다. 가격을 얼마로 할 때 이익이 최대인가, 언제 매출이 꺾이는가처럼 이차함수로 모델링되는 모든 문제의 답이 꼭짓점에 있어요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
스포츠의 궤적
농구 슛, 골프 샷, 포물선 패스처럼 공중에 뜬 모든 공은 이차함수를 그립니다. 선수의 감각은 사실 포물선 계산이에요.
가격 결정
가격을 올리면 개당 이익은 늘지만 판매량이 줍니다. 이익 곡선은 ∩ 모양이에요. 최적 가격이 꼭짓점에 있습니다.
다리와 건축
현수교 케이블과 아치교처럼 힘을 고르게 나누는 곡선이 포물선이라서, 구조물 설계의 기본 곡선이 됐습니다.
제동 거리
브레이크를 밟은 뒤 미끄러지는 거리는 속도의 제곱에 비례합니다. 속도 2배면 제동거리 4배예요. 과속이 위험한 수학적 이유입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
위 식에서 x를 0 이상 1 이하로만 제한해도 최솟값은 −1인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. x=2가 허용되지 않습니다. 주어진 구간에서 다시 비교해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 던진 공이 포물선의 꼭대기(정점)를 지나는 순간, 위아래 속도는 얼마일까요?
2. y = ax² + bx + c에서 a의 부호를 +에서 −로 바꾸면 곡선은?
3. 농구 슛처럼 던지는 높이가 착지점보다 높을 때, 가장 멀리 보내는 각도는?
4. y = −x² + 6x + 1의 꼭짓점은 x가 얼마일 때일까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
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믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
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