PROOF 125
증명하라.
최댓값과 최솟값은 꼭짓점에서 나온다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
모든 x 에 대하여 f(p) ≤ f(x) 이면 f(p) 를 f 의 최솟값이라 하고 p 를 최소점이라 한다. 모든 x 에 대하여 f(x) ≤ f(p) 이면 f(p) 를 최댓값이라 하고 p 를 최대점이라 한다.
증명.
(1)u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)최솟값은 어느 x 에서도 그보다 작은 값이 나오지 않는 값이며, 최소점은 그 값을 실제로 갖는 점이다.약속
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정의 D2
x ≠ p 인 모든 x 에 대하여 f(p) < f(x) 이면 p 를 유일한 최소점이라 한다. 유일한 최대점도 같은 방식으로 정한다.
증명.
최소점의 정의는 등호를 허용하고, 유일한 최소점의 정의는 다른 점에서 부등호가 진짜일 것을 요구한다.약속
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보조정리 L1
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 이고 p = −b/2a, q = c − b²/4a 이면, 모든 x 에 대하여 f(x) − f(p) = a(x − p)²
증명.
(1)x − p 는 x + (−p) 를 뜻한다.약속
(2)f(x) = a(x − p)² + qA1
(3)p − p = 0 이므로 f(p) = a × 0 + q = 0 + q = q(2), A10, A11, A8, A9
(4)f(x) − f(p) = (a(x−p)² + q) + (−q) = a(x−p)² + (q + (−q))(2), (3), A7
(5)q + (−q) = 0 이므로 f(x) − f(p) = a(x−p)²(4), A10, A9
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보조정리 L2
x ≠ p 이면 0 < (x − p)²
증명.
(1)x − p = 0 이면 양변에 p 를 더하여 x = p 가 된다.A7, A8, A9, A10
(2)x ≠ p 이므로 x − p ≠ 0 이다.가정, (1)
(3)0 < (x − p)²(2), A2
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정리 T1
a > 0 이면 f(p) 는 f 의 최솟값이고, p 는 유일한 최소점이다.
증명.
(1)a > 0 이라 하고, x ≠ p 라 하자.가정
(2)0 < (x − p)²(1), L2
(3)0 < a 이므로 0 < a(x − p)²(1), (2), A3
(4)a(x − p)² = f(x) − f(p)L1
(5)0 < f(x) − f(p)(3), (4)
(6)양변에 f(p) 를 더하면 f(p) < f(x)(5), A5, A7, A8, A9, A10
(7)x = p 이면 f(p) = f(x) 이다.약속
(8)모든 x 에 대하여 f(p) ≤ f(x) 이므로 f(p) 는 최솟값이고 p 는 최소점이다.(6), (7), D1
(9)x ≠ p 인 모든 x 에서 부등호가 진짜이므로 p 는 유일한 최소점이다.(6), D2
(10)r ≠ p 도 최소점이면 f(r) ≤ f(p) 이나 (6) 은 f(p) < f(r) 을 준다. 삼분법에 어긋나므로 최소점은 p 뿐이다.(6), D1, A6
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따름정리 C
a < 0 이면 f(p) 는 f 의 최댓값이고, p 는 유일한 최대점이다.
증명.
(1)a < 0 이라 하고, x ≠ p 라 하자.가정
(2)0 < (x − p)²(1), L2
(3)a < 0 이므로 a(x − p)² < 0(1), (2), A4
(4)a(x − p)² = f(x) − f(p) 이므로 f(x) − f(p) < 0(3), L1
(5)양변에 f(p) 를 더하면 f(x) < f(p)(4), A5, A7, A8, A9, A10
(6)x = p 이면 f(x) = f(p) 이므로 모든 x 에서 f(x) ≤ f(p) 이고, f(p) 는 최댓값이다.(5), 약속, D1
(7)x ≠ p 인 모든 x 에서 부등호가 진짜이므로 p 는 유일한 최대점이다.(5), D2
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
차를 계산하는 줄과 그 차의 부호를 판정하는 줄을 나누어 보라. 둘이 같은 공리에 기대지 않는다.