PROOF 101
증명하라.
판별식이 근의 개수를 정한다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 근은 대입하여 등식이 성립하는 수 x 이다.
증명.
(1)a ≠ 0 은 이 식이 이차식이기 위한 조건이며, 아래 모든 블록에서 가정한다.약속
(2)근의 개수는 그러한 x 전체의 개수를 뜻한다.약속
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정의 D2
D 는 b² − 4ac 를 뜻한다.
증명.
이 값을 판별식이라 부른다.약속
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보조정리 L1
a ≠ 0 일 때, 각 수 u 에 대하여 2ax + b = u 인 x 가 정확히 하나 있다.
증명.
(1)2 ≠ 0 이고 a ≠ 0 이므로 2a ≠ 0 이다.A17, A16
(2)x₀ = (u + (−b))(2a)⁻¹ 로 둔다.(1), A14
(3)2ax₀ = (2a(2a)⁻¹)(u + (−b)) = u + (−b)(2), A11, A12, A14, A13
(4)2ax₀ + b = (u + (−b)) + b = u(3), A7, A8, A10, A9
(5)2ax + b = u 이고 2ay + b = u 라 하자.가정
(6)양변에 −b 를 더하면 2ax = 2ay 이다.(5), E, A7, A10, A9
(7)양변에 (2a)⁻¹ 을 곱하면 x = y 이다.(6), (1), E, A11, A12, A14, A13
(8)그러한 x 는 존재하고 하나뿐이다.(4), (7)
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정리 T1
D > 0 이면 근은 정확히 둘이다.
증명.
(1)D > 0 이라 하자.가정
(2)s² = D 인 s > 0 이 유일하게 존재한다.(1), A2
(3)ax² + bx + c = 0 ⟺ (2ax + b)² = D = s²A1, D2, (2)
(4)(2ax + b)² = s² ⟺ 2ax + b = s 또는 2ax + b = −sA3
(5)s > 0 이므로 s ≠ 0 이다.(2), A5
(6)2 ≠ 0 이므로 2s ≠ 0 이다.(5), A17, A16
(7)s = −s 이면 s + s = s + (−s) = 0 이다.A10
(8)s + s = s(1 + 1) = 2sA15, A13, A12
(9)그러므로 s = −s 는 (6) 에 어긋나고, s ≠ −s 이다.(6), (7), (8)
(10)2ax + b = s 인 x 와 2ax + b = −s 인 x 가 각각 하나씩 있다.L1
(11)그 둘이 같으면 s = −s 이므로 (9) 에 어긋난다.(9), (10)
(12)근은 정확히 둘이다.(3), (4), (10), (11), D1
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정리 T2
D = 0 이면 근은 정확히 하나다.
증명.
(1)D = 0 이라 하자.가정
(2)ax² + bx + c = 0 ⟺ (2ax + b)² = 0A1, D2, (1)
(3)u ≠ 0 이면 u² ≠ 0 이다.A16
(4)그러므로 (2ax + b)² = 0 이면 2ax + b = 0 이다.(3)
(5)거꾸로 2ax + b = 0 이면 (2ax + b)² = 0 × 0 = 0 이다.A18
(6)2ax + b = 0 인 x 는 정확히 하나다.L1
(7)근은 정확히 하나다.(2), (4), (5), (6), D1
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정리 T3
D < 0 이면 실근은 존재하지 않는다.
증명.
(1)D < 0 이라 하자.가정
(2)실수 근 x 가 있다면 (2ax + b)² = D 이다.A1, D1, D2
(3)0 ≤ (2ax + b)²A4
(4)그러므로 0 ≤ D 이다.(2), (3), E
(5)삼분법은 D < 0 과 0 ≤ D 를 함께 허용하지 않는다.(1), (4), A5
(6)그러한 x 는 없다.(5)
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따름정리 C
D < 0 이어도 i 를 더한 무대에서는 근이 정확히 둘이다.
증명.
(1)D < 0 이라 하자.가정
(2)A1, A3, L1 은 체의 대수 공리만 쓰므로 복소수 위에서도 성립한다.A1, A3, L1
(3)양변에 −D 를 더하면 0 < −D 이다.(1), A6, A10, A8, A9
(4)s² = −D 인 s > 0 이 존재한다.(3), A2
(5)i² = −1 인 i ≠ 0 이 있다.A19
(6)(is)² = i²s² = (−1)s²(5), A11, A12, E
(7)(−1)s² = (−1)(−D) = 1 × D = D(4), A20, A12, A13, E
(8)(2ax + b)² = D = (is)² 이므로 2ax + b = ±is 이다.(2), (6), (7), A3
(9)s ≠ 0, i ≠ 0, 2 ≠ 0 이므로 2is ≠ 0 이다.(4), (5), A5, A17, A16
(10)is = −is 이면 is + is = 2(is) = 0 이므로 (9) 에 어긋난다.(9), A10, A15, A13, A12
(11)2ax + b = is 인 x 와 2ax + b = −is 인 x 는 각각 하나이고 서로 다르다.(2), (10), L1
(12)근은 정확히 둘이다.(8), (11), D1
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
판별식의 세 경우를 따로 보라. 셋이 같은 공리에 기대고 있지 않다.