PROOF 31
증명하라.
이차함수의 꼭짓점
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 를 이차함수라 한다.
증명.
(1)x² 은 x·x 를, u − v 는 u + (−v) 를, u/v 는 u·v⁻¹ (v ≠ 0) 를 뜻한다. 2 는 1 + 1 을, 4 는 2 × 2 를 뜻한다.약속
(2)a ≠ 0 은 아래 모든 블록에서 가정한다. 그러므로 2a ≠ 0 이고 4a ≠ 0 이다.약속, A11, A10
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정의 D2
모든 x 에 대하여 f(x₀) ≤ f(x) 이면 f(x₀) 를 최솟값, 모든 x 에 대하여 f(x) ≤ f(x₀) 이면 f(x₀) 를 최댓값이라 하고, 그 점 (x₀, f(x₀)) 를 꼭짓점이라 한다.
증명.
꼭짓점은 모양의 이름이 아니라 값이 가장 작거나 가장 큰 한 점이다.약속
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보조정리 L1
모든 u, v 에 대하여 (u + v)² = u² + 2uv + v²
증명.
(1)(u + v)² = (u + v)(u + v)D1
(2) = u(u + v) + v(u + v)(1), A1, A3
(3) = (u² + uv) + (vu + v²)(2), A1
(4)vu = uvA3
(5)uv + uv = (1 + 1)uv = 2uvD1, A1, A3, A8
(6)(u + v)² = u² + 2uv + v²(3), (4), (5), A4, A5
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보조정리 L2
a ≠ 0 일 때 ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
증명.
(1)p = b/2a, q = c − b²/4a 로 둔다. 2a ≠ 0, 4a ≠ 0 이다.D1
(2)a(x + p)² = a(x² + 2px + p²)L1, E
(3) = ax² + a(2px) + ap²(2), A1
(4)a(2px) = (2ap)xA2, A3
(5)2ap = 2a(b/2a) = b(2a·(2a)⁻¹) = b(1), A2, A3, A9, A8
(6)4a(ap²) = (2a)(2a)(2a)⁻¹(2a)⁻¹b² = b² 이고 4a(b²/4a) = b²(1), D1, A2, A3, A9, A8
(7)4a ≠ 0 이므로 ap² = b²/4a(6), (1), A13
(8)ap² + q = b²/4a + (c − b²/4a) = c(7), (1), A4, A5, A7, A6
(9)a(x + p)² + q = ax² + bx + c(3), (4), (5), (8), A4
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정리 T1
a > 0 이면 x = −b/2a 에서 f 는 최솟값 c − b²/4a 를 가지며, 다른 모든 x 에서 값은 그보다 크다.
증명.
(1)p = b/2a, q = c − b²/4a, x₀ = −p 로 둔다.L2
(2)f(x₀) = a(x₀ + p)² + q = a × 0 + q = q(1), L2, A7, A12, A5, A6
(3)x ≠ x₀ 라 하고 t = x + p 로 두면 t ≠ 0 이다.가정, A4, A5, A6, A7
(4)f(x) = at² + q(3), L2
(5)0 < t²(3), A14
(6)0 < a 이므로 0 < at²가정, (5), A15
(7)q < at² + q(6), A17, A6, A5
(8)그러므로 f(x₀) < f(x)(2), (4), (7)
(9)x ≠ x₀ 인 모든 x 에서 성립하므로 f(x₀) = q 는 최솟값이다.(8), (2), D2
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정리 T2
a < 0 이면 x = −b/2a 에서 f 는 최댓값 c − b²/4a 를 가지며, 다른 모든 x 에서 값은 그보다 작다.
증명.
(1)p = b/2a, q = c − b²/4a, x₀ = −p 로 두고 x ≠ x₀ 라 하자.가정, L2
(2)f(x₀) = q 이고, t = x + p 로 두면 t ≠ 0 이며 f(x) = at² + q(1), L2, A7, A12, A4, A5, A6
(3)0 < t²(2), A14
(4)a < 0 이므로 at² < 0가정, (3), A16
(5)at² + q < q(4), A17, A6, A5
(6)그러므로 f(x) < f(x₀)(2), (5)
(7)x ≠ x₀ 인 모든 x 에서 성립하므로 f(x₀) = q 는 최댓값이다.(6), (2), D2
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따름정리 C
이차함수 f(x) = ax² + bx + c 의 꼭짓점은 (−b/2a, c − b²/4a) 이다.
증명.
(1)a > 0 이면 x = −b/2a 에서 최솟값 c − b²/4a 를 갖는다.T1
(2)a < 0 이면 x = −b/2a 에서 최댓값 c − b²/4a 를 갖는다.T2
(3)a ≠ 0 이므로 두 경우뿐이며, 어느 쪽이든 꼭짓점은 (−b/2a, c − b²/4a) 이다.(1), (2), D1, D2
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비고
A14 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
식을 고치는 줄과 값을 견주는 줄을 나누어 보라. 둘이 같은 공리에 기대는지 확인하라.