정의 D1
함수 f 의 그래프 G 는 순서쌍 (x, f(x)) 전체의 집합이다. 즉 (x, y) ∈ G ⟺ y = f(x)
증명.
직선 x = p 는 x 좌표가 p 인 점 전체의 집합이며 세로 직선이다.약속
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정의 D2
직선 m 에 대한 점 P 의 대칭점 P′ 은, 선분 PP′ 의 중점이 m 위에 있고 선분 PP′ 이 m 과 수직인 점이다. P 가 m 위에 있으면 P′ = P 로 정한다.
증명.
이름을 먼저 붙이지 않는다. 어떤 대응이 대칭이동인지는 이 조건으로 확인한다.약속
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정의 D3
점의 집합 S 가 직선 m 에 대하여 대칭이라는 것은, 각 점을 그 대칭점으로 옮기는 대응 σ 에 대하여 σ(S) = S 라는 것이다.
증명.
S 의 모든 점의 대칭점이 S 에 있고, S 의 모든 점이 S 의 어떤 점의 대칭점이라는 뜻이다.약속, D2
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보조정리 L1
σₚ(x, y) = (2p − x, y) 로 정하면 σₚ 는 직선 x = p 에 대한 대칭이동이다.
증명.
(1)모든 u 에 대하여 2u = u(1 + 1) = u + uA12, A9, A6, A10
(2)x = p 이면 2p − x = (p + p) − p = p 이므로 σₚ(P) = P 이고 P 는 x = p 위에 있다.(1), A7, A8, D1
(3)이제 x ≠ p 라 하자.가정
(4)2p − x = x 이면 2p = x + x = 2x 이고 2 ≠ 0 이므로 p = x 이다. 그러므로 두 점은 서로 다르다.(1), (3), A7, A8, A12, A9, A11, A10
(5)x + (2p − x) = 2p 이므로 두 점의 x 좌표의 중점은 2p/2 = pA7, A8, A12, A9, A11, A10, A3
(6)두 점의 y 좌표는 모두 y 이므로 중점의 y 좌표는 (y + y)/2 = 2y/2 = y(1), A3, A12, A9, A11, A10
(7)그러므로 중점은 (p, y) 이고 직선 x = p 위에 있다.(5), (6), D1
(8)두 점의 y 좌표가 같으므로 선분은 가로 선분이고, x = p 는 세로 직선이므로 수직이다.D1, A4
(9)그러므로 σₚ(P) 는 P 의 직선 x = p 에 대한 대칭점이다.(2), (4), (7), (8), D2
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보조정리 L2
f(x) = a(x − p)² + q 이면 모든 t 에 대하여 f(p + t) = f(p − t)
증명.
(1)(p + t) − p = tA7, A8
(2)f(p + t) = a t² + q(1), A13
(3)(p − t) − p = −tA7, A8
(4)f(p − t) = a(−t)² + q(3), A13
(5)(−t)² = t² 이므로 f(p − t) = a t² + q(4), A1, A13
(6)그러므로 f(p + t) = f(p − t)(2), (5)
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정리 T
f(x) = a(x − p)² + q 의 그래프 G 는 직선 x = p 에 대하여 대칭이다.
증명.
(1)(x, y) ∈ G 라 하자. 곧 y = f(x) 이다.D1
(2)t = x − p 라 두면 x = p + tA7, A8
(3)2p − x = (p + p) − (p + t) = p − t(2), A12, A9, A6, A10, A7, A8
(4)f(2p − x) = f(p − t) = f(p + t) = f(x) = y(1), (2), (3), L2, A13
(5)그러므로 σₚ(x, y) = (2p − x, y) ∈ G(4), L1, D1
(6)거꾸로 σₚ(2p − x, y) = (2p − (2p − x), y) = (x, y) 이므로 G 의 각 점은 G 의 어떤 점의 대칭점이다.(5), L1, A7, A8
(7)두 집합은 원소가 같으므로 σₚ(G) = G(5), (6), A5
(8)σₚ 는 x = p 에 대한 대칭이동이므로 G 는 직선 x = p 에 대하여 대칭이다.(7), L1, D3
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따름정리 C
y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 의 그래프는 직선 x = −b/2a 에 대하여 대칭이다.
증명.
(1)ax² + bx + c = a(x − p)² + q 이며 p = −b/2aA2
(2)그러므로 그 그래프는 직선 x = p 에 대하여 대칭이다.(1), T
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