PROOF 19
증명하라.
근의 공식
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 근은 대입하여 등식이 성립하는 실수 x 이다.
증명.
(1)a ≠ 0 은 이 식이 이차식이기 위한 조건이며, 아래 모든 블록에서 가정한다.약속
(2)a − b 는 a + (−b) 를, a² 은 a × a 를 뜻한다. 뺄셈과 제곱은 표기다.약속
∎
보조정리 L1
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A6
(2)a(0 + 0) = a × 0(1), E
(3)a×0 + a×0 = a×0(2), A1
(4)양변에 −(a×0) 을 더한다.(3), E
(5)a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = 0(4), A4, A7
(6)a × 0 = 0(5), A7, A6
∎
보조정리 L2
모든 u, v 에 대하여 (u + v)² = u² + 2uv + v²
증명.
(1)(u + v)² = (u + v)(u + v)약속
(2) = u(u + v) + v(u + v)(1), A1, A3
(3) = (u² + uv) + (vu + v²)(2), A1
(4)vu = uvA3
(5)uv + uv = (1 + 1)uv = 2uvA1, A3, A8
(6)(u + v)² = u² + 2uv + v²(3), (4), (5), A4, A5
∎
보조정리 L3
a ≠ 0 일 때 ax² + bx + c = 0 과 (2ax + b)² = b² − 4ac 는 같은 조건이다.
증명.
(1)a ≠ 0 이므로 4a ≠ 0 이고 2a ≠ 0 이다.A11, A10
(2)ax² + bx + c = 0 이라 하자.가정
(3)4a(ax² + bx + c) = 4a × 0(2), E
(4)4a × 0 = 0L1
(5)4a(ax² + bx + c) = 4a²x² + 4abx + 4acA1, A2, A3
(6)4a²x² + 4abx + 4ac = 0(3), (4), (5)
(7)양변에 b² − 4ac 를 더하면 4a²x² + 4abx + b² = b² − 4ac(6), E, A4, A5, A7, A6
(8)(2ax + b)² = (2ax)² + 2(2ax)b + b² = 4a²x² + 4abx + b²L2, A2, A3
(9)(2ax + b)² = b² − 4ac(7), (8)
(10)거꾸로 (9) 의 양변에 4ac − b² 를 더하면 4a(ax² + bx + c) = 0 이다.(9), (5), (8), E, A4, A5, A7, A6
(11)4a ≠ 0 이므로 양변에 (4a)⁻¹ 을 곱하면 ax² + bx + c = 0 이다.(1), (10), A9, A2, A8, L1
∎
정리 T1
b² − 4ac ≥ 0 이면 근은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 이고, 그 밖의 근은 없다.
증명.
(1)ax² + bx + c = 0 ⟺ (2ax + b)² = b² − 4acL3
(2)b² − 4ac ≥ 0 이므로 s² = b² − 4ac 인 s ≥ 0 이 유일하게 존재한다.가정, A12
(3)그 s 를 √(b² − 4ac) 라 쓴다.(2), 약속
(4)(2ax + b)² = s²(1), (2)
(5)2ax + b = ±s(4), A13
(6)양변에 −b 를 더하면 2ax = −b ± s(5), E, A4, A7, A6
(7)2a ≠ 0 이므로 양변에 (2a)⁻¹ 을 곱하면 x = (−b ± s) / 2a(6), A11, A10, A9, A2, A8
(8)(1) 과 (5) 는 모두 동치이므로 이 두 값이 근의 전부다.(1), (5), (7)
∎
따름정리 C
b² − 4ac < 0 이면 실근은 존재하지 않는다.
증명.
(1)b² − 4ac < 0 이라 하자.가정
(2)근 x 가 있다면 (2ax + b)² = b² − 4ac 이다.L3
(3)0 ≤ (2ax + b)²A14
(4)그러므로 0 ≤ b² − 4ac 이고, 이는 (1) 에 모순이다.(2), (3)
(5)그러한 x 는 없다.(4)
∎
비고
A12 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
완전제곱까지 가는 길과 거기서 x 를 꺼내는 길은 서로 다른 공리에 기댄다. 어느 쪽이 제곱근을 쓰는지 확인하라.