PROOF 124
증명하라.
판별식과 x축 교점의 개수
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 의 그래프 G 는 순서쌍 (x, f(x)) 전체의 집합이다.
증명.
(1)그래프는 그림이 아니라 순서쌍의 집합이다. a ≠ 0 은 아래 모든 블록에서 가정한다.약속
(2)D 는 b² − 4ac 를 뜻한다.약속
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정의 D2
x축은 y좌표가 0 인 점 전체의 집합이다. 즉 (x, y) ∈ x축 ⟺ y = 0
증명.
x축도 그림이 아니라 점의 집합으로 다룬다.약속
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정의 D3
G 와 x축에 함께 속하는 점을 그래프와 x축의 교점이라 한다.
증명.
교점의 개수는 그러한 점 전체의 개수를 뜻한다.약속
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정리 T1
x₀ 가 f(x) = 0 의 근인 것과 (x₀, 0) 이 교점인 것은 같다. 나아가 x₀ ↦ (x₀, 0) 은 근 전체와 교점 전체 사이의 일대일 대응이다.
증명.
(1)x₀ 가 근이라 하자. 그러면 f(x₀) = 0 이다.가정, A1
(2)(x₀, f(x₀)) 은 G 의 원소이고, f(x₀) = 0 이므로 (x₀, f(x₀)) = (x₀, 0) 이다.(1), D1, A2
(3)(x₀, 0) 의 y좌표는 0 이므로 그 점은 x축 위에 있다.D2
(4)그러므로 (x₀, 0) 은 교점이다.(2), (3), D3
(5)거꾸로 P 가 교점이라 하고 P = (x₀, y₀) 로 둔다.가정, D3
(6)P 는 G 의 원소이므로 y₀ = f(x₀) 이다.(5), D1, A2
(7)P 는 x축 위에 있으므로 y₀ = 0 이다.(5), D2
(8)f(x₀) = y₀ 이고 y₀ = 0 이므로 f(x₀) = 0 이고, x₀ 는 근이다.(6), (7), A3, A1
(9)x₀ ≠ x₁ 이면 (x₀, 0) ≠ (x₁, 0) 이므로 서로 다른 근은 서로 다른 교점을 준다.A2
(10)모든 교점은 그 x좌표를 근으로 가지므로 (4) 의 대응으로 얻어진다.(5), (6), (7), (8)
(11)그러므로 근 전체와 교점 전체는 일대일로 대응하고, 개수가 같다.(4), (9), (10)
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정리 T2
D > 0 이면 교점은 정확히 둘이고, D = 0 이면 교점은 정확히 하나다.
증명.
(1)교점의 개수는 근의 개수와 같다.T1
(2)D > 0 이면 근이 정확히 둘이므로 교점도 정확히 둘이다.(1), A4
(3)D = 0 이면 근이 정확히 하나이므로 교점도 정확히 하나다.(1), A5
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정리 T3
D < 0 이면 그래프와 x축의 교점은 존재하지 않는다.
증명.
(1)교점의 개수는 근의 개수와 같다.T1
(2)D < 0 이면 실근이 하나도 없다.A6
(3)그러므로 교점도 하나도 없다.(1), (2)
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따름정리 C
그래프가 x축과 만나는 것과 D ≥ 0 인 것은 같다.
증명.
(1)D ≥ 0 은 D > 0 또는 D = 0 을 뜻하며, 두 경우 모두 교점이 있다.약속, T2
(2)D < 0 이면 교점이 없다.T3
(3)삼분법에 따라 D 는 세 경우 중 하나뿐이다.A7
(4)그러므로 교점이 있는 것과 D ≥ 0 인 것은 같다.(1), (2), (3)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
근과 교점을 잇는 줄과 교점을 세는 줄을 나누어 보라. 세는 줄 중에서도 하나만 이 공리를 쓴다.