a/b · 분수
전체를 등분한 조각을 세는 수, 분수
피자 한 판을 4명이 똑같이 나누면, 한 사람 몫은 얼마라고 써야 할까?
같은 한 개를 더 잘게 나눌수록 한 조각이 작아지는 이유를 설명합니다.
하나를 똑같이 나누는 그림에서 시작합니다.
나눠떨어지지 않는 몫에도 이름을 붙입니다.
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 한 개보다 작은 양 · 1/3
8이 더 큰데, 왜 한 조각은 작을까요?
초콜릿 한 판을 네 사람이 똑같이 나누었다고 해봅시다. 한 사람은 네 조각 중 하나를 받습니다. 이것을 1/4판이라고 씁니다.
이번에는 같은 크기의 한 판을 여덟 사람이 나눕니다. 사람이 두 배가 되었다고 초콜릿이 늘어난 것은 아닙니다. 한 사람 몫이 작아져야 모두에게 돌아갑니다.
여기서 잠깐 헷갈릴 수 있습니다. 8은 4보다 큰데 왜 1/8은 1/4보다 작을까요? 아래 숫자, 분모는 한 판을 똑같이 몇 조각으로 나누었는지를 말합니다. 자른 횟수나 조각의 크기 자체를 뜻하지는 않습니다.
4등분한 한 조각을 다시 반으로 나누어 보세요. 그러면 8등분한 조각 두 개와 같은 양입니다. 그래서 1/4=2/8입니다. 이름을 바꿨지만 초콜릿의 양은 달라지지 않았습니다.
그렇다면 분모가 큰 분수가 언제나 작을까요? 3/8과 1/4을 비교하면 그렇지 않습니다. 1/4은 2/8이므로 3/8이 더 큽니다. 위 숫자, 분자가 몇 조각을 가져왔는지도 함께 말해주기 때문입니다.
초콜릿의 실제 양을 비교할 때는 한 판의 크기도 같아야 합니다. 큰 판의 1/8과 작은 판의 1/4은 분수 표기만으로 실제 무게를 비교할 수 없습니다. 무엇을 한 개로 삼았는지부터 확인해 봅시다.
이 기호를 함께 읽으면
- b
- a/b에서 분모 b는 한 개를 나눈 같은 크기의 조각 수입니다. 이 그림에서는 양의 정수로 생각합니다.
- a
- 분자 a는 그 크기의 조각을 몇 개 가져왔는지 말합니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 피자를 4등분한 한 조각(1/4)과 8등분한 한 조각(1/8). 어느 쪽이 클까요?
피자를 잘라보세요
몇 등분할지 고르세요. 빨간 조각이 '한 사람 몫'입니다.
한 조각 = 1/4
수의 세계에서 분수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
한 조각과, 내가 가진 조각 수
분수는 조각 몇 개를 세는 표기이면서 동시에 두 수의 나눗셈 결과입니다. 조각을 셀 때는 무엇을 하나의 전체로 정했는지부터 같아야 비교할 수 있습니다.
1/2과 1/3을 더하려면 같은 전체를 여섯 조각으로 나누어 3/6과 2/6으로 봅니다. 5/6이라는 답은 숫자 요령이 아니라 조각 단위를 맞춘 결과입니다.
분수는 두 숫자가 아니라 하나의 양이다.
3/4을 '3과 4'로 보면 헷갈립니다. '4등분 중 3조각'이라는 하나의 크기로 보세요. 그 순간부터 크기 비교도 계산도 그림으로 보입니다.
통분은 기술이 아니라 번역이다.
1/2과 1/3은 조각 크기가 다릅니다. 둘 다 6등분 말로 바꾸면 3/6과 2/6이 됩니다. 이제 같은 크기의 조각 수를 비교하거나 더할 수 있습니다. 통분은 공통 언어 만들기입니다.
나누는 방법과 가져온 양을 함께 씁니다
분모는 0일 수 없습니다. 그림에서 서로 다른 전체의 절반을 같은 양으로 취급하지 않습니다.
피자 자르기에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
피자 조각과 수식을 짝지어 보기
+ = =
분수의 뜻
이 그림에서 b는 전체를 나눈 같은 크기의 조각 수인 양의 정수이고, a는 가진 조각 수입니다. 분수 a/b는 b≠0일 때 나눗셈 a÷b의 몫이기도 합니다.
크기가 같은 분수
같은 조각을 k등분하는 그림에서는 k를 양의 정수로 봅니다. 1/2 = 2/4 = 4/8처럼 양은 그대로예요. 일반적인 등식은 b≠0, k≠0에서 성립합니다.
분모가 다른 분수의 덧셈
같은 전체에서 조각 크기를 먼저 맞추고(통분) 조각 수를 더합니다. 두 분수를 더할 수 없다는 뜻이 아니라, 서로 다른 크기의 조각 수만 바로 합치면 안 된다는 뜻입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
1/8은 1/4보다 크다. 8이 4보다 크니까.
같은 전체의 한 조각을 비교하면 반대입니다. 8등분한 조각은 4등분한 조각보다 작아요. 분모는 전체를 똑같이 몇 조각으로 나누었는지를 뜻합니다. 분자가 1로 같을 때 분모가 클수록 그 한 조각은 작아집니다.
분수의 덧셈은 위끼리, 아래끼리 더하면 된다 (1/2 + 1/4 = 2/6).
크기가 다른 조각의 개수를 그대로 더하면 양이 맞지 않습니다. 1/2을 2/4로 바꿔 조각 크기를 먼저 맞춥니다. 그러면 2/4 + 1/4 = 3/4. 통분은 조각 크기 맞추기입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
요리 계량
설탕 1/2컵, 버터 3/4스틱. 레시피는 분수를 사용합니다. 같은 레시피의 2인분을 3인분으로 바꾸는 계산도 분수 곱셈이에요.
시간 읽기
15분은 1/4시간, 30분은 1/2시간입니다. '한 시간 반'처럼 일상 말에도 분수가 들어 있어요.
음표의 길이
같은 박자 진행에서 4분음표는 온음표의 1/4 길이, 8분음표는 1/8 길이입니다. 박자표는 한 마디의 구성에 관한 별도의 약속도 담고 있습니다.
화면 비율과 확률
화면의 가로와 세로 비율을 16:9로 쓸 수 있고 16/9로 비교할 수 있습니다. 공정한 주사위의 한 눈이 나올 확률 1/6도 분수로 표현합니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
한 가지 설명과 비교하기
한 판의 네 조각을 각각 반으로 나누면 여덟 조각이 됩니다. 처음 가진 한 조각이 두 조각으로 나뉘었을 뿐, 가진 양은 같습니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 같은 크기의 피자를 8등분한 조각과 4등분한 조각, 어느 쪽이 클까요?
2. 1/2 + 1/4의 답은 무엇일까요?
3. 같은 크기의 피자 2판을 3명이 똑같이 나누면 한 사람 몫은?
4. 3/5과 4/7 중 어느 쪽이 클까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q13/5과 4/7 중 어느 쪽이 클까요?답 보기 ▾
통분해서 비교합니다. 3/5 = 21/35, 4/7 = 20/35. 그래서 3/5이 큽니다. 분모가 다르면 분자·분모의 겉모습만으로 비교하면 안 됩니다.
Q2같은 크기의 피자 2판을 3명이 똑같이 나누면 한 사람 몫은?답 보기 ▾
2 ÷ 3 = 2/3판입니다. 나눗셈의 몫이 곧 분수예요.
Q31/2 + 1/3은 왜 2/5가 아닐까요?답 보기 ▾
2/5는 0.4라서 1/2(0.5)보다 작습니다. 양수 1/3을 더했는데 작아질 수는 없죠. 6등분으로 통분하면 3/6 + 2/6 = 5/6입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
오늘 붙잡은 생각
같은 전체를 나누는 방법과 가져온 조각 수를 함께 읽어야 분수의 양을 알 수 있습니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이 글이 있는 읽기 길: 한 개보다 작은 양 · 1/3
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여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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