PROOF 71
증명하라.
분수의 대소는 교차 곱셈으로 정해진다
순서를 가진 체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새로운 연산이 아니라 역원을 더하는 것이다.약속
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정의 D2
b 가 곱셈 역원을 가질 때 a/b 는 a · b⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
대소를 묻기 전에 무엇을 비교하는지부터 정한다. 비교의 대상은 두 개의 곱이다.약속
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보조정리 L1
a < b 인 것과 0 < b − a 인 것은 같다.
증명.
(1)a < b 라 하자.가정
(2)a + (−a) < b + (−a)(1), A2
(3)0 < b − a(2), A7, D1
(4)거꾸로 0 < b − a 라 하자.가정
(5)0 + a < (b + (−a)) + a(4), A2, D1
(6)(b + (−a)) + a = b + ((−a) + a) = bA4, A5, A7, A6
(7)0 + a = aA5, A6
(8)a < b(5), (6), (7)
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보조정리 L2
(x − y)z = xz − yz
증명.
(1)((x − y) + y)z = (x − y)z + yzA12
(2)(x − y) + y = x + ((−y) + y) = xD1, A4, A5, A7, A6
(3)(x − y)z + yz = xz(1), (2), E
(4)((x − y)z + yz) + (−(yz)) = xz + (−(yz))(3), E
(5)좌변 = (x − y)z + (yz + (−(yz))) = (x − y)zA4, A7, A6
(6)(x − y)z = xz − yz(4), (5), D1
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보조정리 L3
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A6
(2)(0 + 0)a = 0 × a(1), E
(3)0×a + 0×a = 0×a(2), A12
(4)(0×a + 0×a) + (−(0×a)) = 0×a + (−(0×a))(3), E
(5)좌변 = 0×a + (0×a + (−(0×a))) = 0×aA4, A7, A6
(6)우변 = 0A7
(7)0 × a = 0, 즉 a × 0 = 0(4), (5), (6), A9
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보조정리 L4
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 이면 (a/b)(bd) = ad 이고 (c/d)(bd) = bc
증명.
(1)(a/b)(bd) = (a · b⁻¹)(bd)D2
(2) = a((b⁻¹b)d)A8
(3) = a(1 × d) = adA9, A11, A10
(4)(c/d)(bd) = (c · d⁻¹)(db)D2, A9
(5) = c((d⁻¹d)b)A8
(6) = c(1 × b) = cb = bcA9, A11, A10
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정리 T
0 < b 이고 0 < d 이면 a/b < c/d 인 것과 ad < bc 인 것은 같다.
증명.
(1)0 < b 이고 0 < d 라 하자.가정
(2)b ≠ 0 이고 d ≠ 0 이다.(1), A1
(3)0 < bd(1), A3
(4)a/b < c/d 라 하자.가정
(5)0 < (c/d) − (a/b)(4), L1
(6)0 < ((c/d) − (a/b))(bd)(3), (5), A3
(7)((c/d) − (a/b))(bd) = (c/d)(bd) − (a/b)(bd)L2
(8) = bc − ad(2), L4, E
(9)0 < bc − ad(6), (7), (8), E
(10)ad < bc(9), L1
(11)거꾸로 ad < bc 라 하자.가정
(12)c/d < a/b 라면 (4)~(10) 을 a/b 와 c/d 를 바꾸어 적용해 bc < ad 이다.(10)
(13)그러면 ad < bc 와 bc < ad 가 함께 성립하고, 이는 삼분법에 어긋난다.(11), (12), A1
(14)a/b = c/d 라면 양변에 bd 를 곱해 ad = bc 이다.(2), L4, E
(15)그러면 ad < bc 와 ad = bc 가 함께 성립하고, 이는 삼분법에 어긋난다.(11), (14), A1
(16)a/b < c/d(13), (15), A1
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따름정리 C
0 < b 이고 d < 0 이면 a/b < c/d 인 것과 bc < ad 인 것은 같다.
증명.
(1)0 < b 이고 d < 0 이라 하자.가정
(2)b ≠ 0 이고 d ≠ 0 이다.(1), A1
(3)0 × d > b × d 이고 0 × d = 0 이므로 bd < 0(1), P, L3, A9
(4)a/b < c/d 라 하자.가정
(5)(a/b)(bd) > (c/d)(bd)(3), (4), P
(6)ad > bc, 즉 bc < ad(2), (5), L4, E
(7)거꾸로 bc < ad 라 하자.가정
(8)c/d < a/b 라면 (4)~(6) 을 바꾸어 적용해 ad < bc 이다.(6)
(9)a/b = c/d 라면 양변에 bd 를 곱해 ad = bc 이다.(2), L4, E
(10)(8) 과 (9) 는 모두 (7) 과 삼분법에 어긋난다.(7), (8), (9), A1
(11)a/b < c/d(10), A1
(12)T 와 C 는 같은 곱 bd 를 쓴다. 다른 것은 bd 의 부호뿐이고, 결론의 방향이 그것을 따른다.T, (3), (6)
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비고
A3 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
교차 곱셈은 대각선으로 곱하는 규칙처럼 보인다. 곱한 수가 어느 부호인지 무엇이 보장하는지 확인하라.