PROOF 03
증명하라.
a/b + c/d = (ad+bc)/bd
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b 가 곱셈 역원을 가질 때 a/b 는 a · b⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
분수는 새로운 종류의 수가 아니라 곱이다. 이 정의는 b 가 역원을 가지는지만 묻는다.약속
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보조정리 L1
xy = 1 이고 xz = 1 이면 y = z
증명.
(1)y = y × 1A3
(2) = y(xz)가정
(3) = (yx)zA1
(4) = (xy)zA2
(5) = 1 × z가정
(6) = z × 1A2
(7) = zA3
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보조정리 L2
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 이면 (bd)⁻¹ = b⁻¹d⁻¹
증명.
(1)(bd)(b⁻¹d⁻¹) = (b b⁻¹)(d d⁻¹)A4, A1, A2
(2) = 1 × 1A4
(3) = 1A3
(4)b⁻¹d⁻¹ 은 bd 의 곱셈 역원이다.(3)
(5)그러한 수는 하나뿐이다.L1
(6)(bd)⁻¹ = b⁻¹d⁻¹(4), (5)
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정리 T
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 이면 a/b + c/d = (ad + bc)/bd
증명.
(1)a/b + c/d = a·b⁻¹ + c·d⁻¹A4, D1, E
(2) = (a·b⁻¹)×1 + (c·d⁻¹)×1A3
(3) = a b⁻¹(d d⁻¹) + c d⁻¹(b b⁻¹)A4, E
(4) = (ad)(b⁻¹d⁻¹) + (cb)(d⁻¹b⁻¹)A1, A2
(5) = (ad)(b⁻¹d⁻¹) + (cb)(b⁻¹d⁻¹)A2
(6) = (ad + cb)(b⁻¹d⁻¹)A5
(7) = (ad + bc)(bd)⁻¹A2, L2
(8) = (ad + bc)/bdD1
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
0 이 아닌 수마다 역원이 있다는 것은 유리수의 성질이다. 제거하면 어느 줄이 근거를 잃는지 확인하라.