PROOF 70
증명하라.
약분해도 값은 같다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b 가 곱셈 역원을 가질 때 a/b 는 a · b⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
분수는 두 수를 위아래로 쌓은 기호가 아니라 곱이다. 이 정의는 b 가 역원을 가지는지만 묻는다.약속
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보조정리 L1
xy = 1 이고 xz = 1 이면 y = z
증명.
(1)y = y × 1A3
(2) = y(xz)가정
(3) = (yx)zA1
(4) = (xy)zA2
(5) = 1 × z가정
(6) = z × 1A2
(7) = zA3
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보조정리 L2
k ≠ 0 이고 b ≠ 0 이면 kb 는 곱셈 역원을 가지고 (kb)⁻¹ = k⁻¹b⁻¹
증명.
(1)k ≠ 0 이므로 k⁻¹ 이, b ≠ 0 이므로 b⁻¹ 이 있다.가정, A4
(2)(kb)(k⁻¹b⁻¹) = (k k⁻¹)(b b⁻¹)A1, A2
(3) = 1 × 1A4
(4) = 1A3
(5)k⁻¹b⁻¹ 은 kb 의 곱셈 역원이다.(4)
(6)그러한 수는 하나뿐이다.L1
(7)(kb)⁻¹ = k⁻¹b⁻¹(5), (6)
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정리 T
k ≠ 0 이고 b ≠ 0 이면 (ka)/(kb) = a/b
증명.
(1)kb 는 곱셈 역원을 가진다.L2
(2)(ka)/(kb) = (ka)(kb)⁻¹(1), D1
(3) = (ka)(k⁻¹b⁻¹)L2, E
(4) = ((ka)k⁻¹)b⁻¹A1
(5) = ((ak)k⁻¹)b⁻¹A2
(6) = (a(k k⁻¹))b⁻¹A1
(7) = (a × 1)b⁻¹A4
(8) = a · b⁻¹A3
(9) = a/bD1
(10)k ≠ 0 은 (1) 과 (7) 에서 쓰였다. k = 0 이면 k⁻¹ 이 없어 (2) 부터 성립하지 않는다.(1), (7), A4
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
약분은 위아래에서 같은 수를 지우는 일처럼 보인다. 지워지는 자리에 무엇이 남는지 확인하라.