PROOF 77
증명하라.
분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
x 가 유한소수라 함은 어떤 정수 m 과 0 이상의 정수 n 에 대하여 x = m / 10ⁿ 인 것이다.
증명.
소수점 아래 n 자리에서 끝나는 표기는 분모가 10ⁿ 인 분수와 같은 뜻이다.약속
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정의 D2
p/q 가 기약이라 함은 p 와 q 에 공통 소인수가 없는 것이다. 아래에서 p, q 는 자연수로 둔다.
증명.
곧 p 와 q 를 동시에 나누는 소수가 없다는 뜻이다.약속, A3
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보조정리 L1
N = d·e 이면 N 의 소인수는 d 의 소인수와 e 의 소인수를 합친 것뿐이다.
증명.
(1)d > 1 이면 d 는 소수들의 곱이다. d = 1 이면 빈 곱으로 본다.A1, 약속
(2)e 도 마찬가지다.A1, 약속
(3)두 곱을 이어 붙이면 N = d·e 가 소수들의 곱으로 쓰인다.(1), (2), A6, A7, E
(4)N > 1 이면 그 분해는 유일하므로 (3) 이 N 의 소인수분해다.(3), A1
(5)그러므로 N 의 소인수는 d 의 소인수와 e 의 소인수뿐이다.(4)
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보조정리 L2
0 이상의 정수 n 에 대하여 10ⁿ 의 소인수는 2 와 5 밖에 없다.
증명.
(1)n = 0 이면 10⁰ = 1 이고 소인수가 없다.약속
(2)10 = 2 · 5약속
(3)10ⁿ = (2·5)ⁿ = 2ⁿ5ⁿ(2), A5, E
(4)2ⁿ5ⁿ 은 2 와 5 만으로 이루어진 소수들의 곱이다.(3)
(5)유일성에 의해 이것이 10ⁿ 의 소인수분해다.(4), A1
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정리 T1
q = 2ᵃ5ᵇ 이면 p/q 는 유한소수다.
증명.
(1)n = max(a, b) 라 하면 n − a ≥ 0, n − b ≥ 0약속
(2)k = 2ⁿ⁻ᵃ · 5ⁿ⁻ᵇ 은 자연수다.(1)
(3)q·k = 2ᵃ5ᵇ · 2ⁿ⁻ᵃ5ⁿ⁻ᵇ = 2ⁿ5ⁿ(2), A4, A6, A7
(4)2ⁿ5ⁿ = (2·5)ⁿ = 10ⁿA5
(5)q·k = 10ⁿ(3), (4)
(6)p · 10ⁿ = p(qk) = q(pk)(5), A6, A7, E
(7)p/q = (pk) / 10ⁿ(6), A2
(8)그러므로 p/q 는 유한소수다.(7), D1
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정리 T2
기약분수 p/q 가 유한소수이면 q 의 소인수는 2 와 5 밖에 없다.
증명.
(1)p/q = m / 10ⁿ 인 자연수 m 과 0 이상의 정수 n 이 있다.가정, D1
(2)p · 10ⁿ = m · q(1), A2
(3)q | p · 10ⁿ(2), A3, A7
(4)r 을 q 의 소인수라 하자.가정
(5)p · 10ⁿ = q · e 인 자연수 e 가 있다.(3), A3
(6)r 은 q 의 소인수이므로 p · 10ⁿ 의 소인수다.(4), (5), L1
(7)p · 10ⁿ 의 소인수는 p 의 소인수이거나 10ⁿ 의 소인수다.L1
(8)10ⁿ 의 소인수는 2 와 5 밖에 없다.L2
(9)r 이 p 의 소인수이면 r 은 p 와 q 의 공통 소인수가 되어 기약에 어긋난다.(4), D2
(10)그러므로 r = 2 또는 r = 5 이다.(6), (7), (8), (9)
(11)q 의 소인수가 2 와 5 뿐이므로 q 의 소인수분해는 q = 2ᵃ5ᵇ 꼴이다.(10), A1
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따름정리 C
기약분수 p/q 가 유한소수인 것과 q = 2ᵃ5ᵇ 인 것은 서로 같다.
증명.
(1)T1 이 한 방향을 준다.T1
(2)T2 가 다른 방향을 준다.T2
(3)두 방향이 모두 성립하므로 두 조건은 동치다.(1), (2)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 방향 가운데 어느 쪽이 소인수분해의 유일성을 쓰는지 확인하라.