PROOF 04
증명하라.
a ÷ (b/c) = a × (c/b)
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
c 가 곱셈 역원을 가질 때 b/c 는 b · c⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
분수는 새로운 종류의 수가 아니라 곱이다.약속
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정의 D2
x 가 곱셈 역원을 가질 때 a ÷ x 는 a · x⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
나눗셈은 역원을 곱하는 것이다. 이 정의는 x 가 역원을 가지는지만 묻는다.약속
∎
보조정리 L1
xy = 1 이고 xz = 1 이면 y = z
증명.
(1)y = y × 1A3
(2) = y(xz)가정
(3) = (yx)zA1
(4) = (xy)zA2
(5) = 1 × z가정
(6) = z × 1A2
(7) = zA3
∎
보조정리 L2
b ≠ 0 이고 c ≠ 0 이면 b/c 는 곱셈 역원을 가지며 (b/c)⁻¹ = c/b
증명.
(1)(b/c)(c/b) = (b c⁻¹)(c b⁻¹)A4, D1
(2) = (b b⁻¹)(c c⁻¹)A1, A2
(3) = 1 × 1A4
(4) = 1A3
(5)c/b 는 b/c 의 곱셈 역원이다.(4)
(6)그러한 수는 하나뿐이다.L1
(7)(b/c)⁻¹ = c/b(5), (6)
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정리 T
b ≠ 0 이고 c ≠ 0 이면 a ÷ (b/c) = a × (c/b)
증명.
(1)b/c 는 곱셈 역원을 가진다.L2
(2)그러므로 a ÷ (b/c) 가 정의된다.D2, (1)
(3)a ÷ (b/c) = a · (b/c)⁻¹D2
(4)(b/c)⁻¹ = c/bL2
(5)a ÷ (b/c) = a × (c/b)(3), (4), E
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
뒤집어 곱하는 규칙이 어느 공리에 매달려 있는지 확인하라.