PROOF 72
증명하라.
소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
0.d₁d₂…dₙ 은 d₁·10⁻¹ + d₂·10⁻² + … + dₙ·10⁻ⁿ 을 뜻한다.
증명.
(1)dᵢ 는 0 부터 9 까지의 정수다. 10⁰ = 1 로 약속한다.약속
(2)10⁻ⁱ 은 10ⁱ 의 곱셈 역원을 뜻한다.약속
(3)10ⁱ ≠ 0 이므로 그 역원이 있다. 이 정의가 뜻을 가지는 것은 그 때문이다.A2, A3
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정의 D2
b 가 곱셈 역원을 가질 때 a/b 는 a · b⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
소수를 분수로 쓴다는 것은 이 꼴로 쓴다는 것이다.약속
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보조정리 L1
i ≤ n 이면 10ⁿ · 10⁻ⁱ = 10ⁿ⁻ⁱ
증명.
(1)10ⁿ = 10ⁿ⁻ⁱ · 10ⁱA1
(2)10ⁿ·10⁻ⁱ = (10ⁿ⁻ⁱ·10ⁱ)10⁻ⁱ(1), E
(3) = 10ⁿ⁻ⁱ(10ⁱ·10⁻ⁱ)A4
(4)10ⁱ · 10⁻ⁱ = 1D1, A2, A3
(5)10ⁿ·10⁻ⁱ = 10ⁿ⁻ⁱ(2), (3), (4), A6
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정리 T1
0.d₁d₂…dₙ = N / 10ⁿ. 여기서 N = d₁·10ⁿ⁻¹ + d₂·10ⁿ⁻² + … + dₙ 이다.
증명.
(1)x = d₁·10⁻¹ + … + dₙ·10⁻ⁿD1
(2)10ⁿ·x = 10ⁿ(d₁·10⁻¹) + … + 10ⁿ(dₙ·10⁻ⁿ)(1), A7, A5, E
(3)10ⁿ(dᵢ·10⁻ⁱ) = dᵢ(10ⁿ·10⁻ⁱ)A4, A5
(4) = dᵢ · 10ⁿ⁻ⁱL1
(5)10ⁿ·x = d₁·10ⁿ⁻¹ + … + dₙ·10⁰ = N(2), (3), (4), D1, A6
(6)지수 n−i 는 모두 0 이상이고 dᵢ 는 정수이므로 N 은 정수다.A8
(7)10ⁿ ≠ 0 이므로 (10ⁿ)⁻¹ 이 있다.A2, A3
(8)x = (10ⁿ·x)(10ⁿ)⁻¹ = N·(10ⁿ)⁻¹(5), (7), A4, A5, A6, E
(9)x = N / 10ⁿ(8), D2
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따름정리 C
모든 유한소수는 유리수다.
증명.
(1)유리수는 정수 p 와 0 이 아닌 정수 q 로 p/q 라 쓸 수 있는 수다.약속
(2)N 은 정수다.T1, A8
(3)10ⁿ 은 정수이고 0 이 아니다.A8, A2
(4)x = N / 10ⁿT1
(5)그러므로 x 는 유리수다. 분모는 언제나 10의 거듭제곱이고, 자릿수가 그 지수다.(1), (2), (3), (4)
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비고
A3 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
0.3 이라는 표기가 어떤 수를 가리키는지부터 확인하라.