PROOF 02
증명하라.
a ÷ 0 은 정의할 수 없다
유리수 ℚ 위에서. 연산은 + 와 × 두 개.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a ÷ b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
나눗셈은 곱셈을 거꾸로 묻는 것이다. 이 정의에는 b 에 대한 조건이 없다.약속
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보조정리 L1
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A1
(2)a(0 + 0) = a × 0E
(3)a×0 + a×0 = a×0A6
(4)(a×0 + a×0) + (−(a×0)) = a×0 + (−(a×0))E
(5)a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = 0A2, A3
(6)a × 0 = 0A3, A1
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정리 T1
a ≠ 0 이면 0 × x = a 를 만족하는 x 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)그러한 x 가 있다고 하자.가정
(2)0 × x = x × 0A7
(3) = 0L1
(4)그러므로 a = 0(1), (3), E
(5)이는 a ≠ 0 에 모순이다.가정
(6)그러한 x 는 없다.(5)
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정리 T2
0 × x = 0 을 만족하는 x 는 하나로 정해지지 않는다.
증명.
(1)0 × 0 = 0A7, L1
(2)0 × 1 = 0A5, A7, L1
(3)0 ≠ 1A8
(4)서로 다른 두 해가 있다.(1), (2), (3)
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따름정리 C
a ÷ 0 은 정의할 수 없다.
증명.
(1)a ≠ 0 이면 해가 하나도 없다.T1
(2)a = 0 이면 해가 하나로 정해지지 않는다.T2
(3)어느 쪽이든 D1 은 값을 하나 주지 못한다.D1, (1), (2)
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비고
A8 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
0 ≠ 1 은 너무 당연해 보인다. 제거하면 무엇이 무너지는지 확인하라.