sin θ · 삼각비
각이 정하는 변의 비율, 삼각비
강 건너 나무까지의 거리를, 강을 건너지 않고 잴 수 있을까?
삼각비를 닮음으로 읽습니다.
달까지의 거리를, 지구를 떠나지 않고 잰 옛 천문학자들
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 닿지 않고 길이를 재기 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
고대의 측량사와 천문학자에게는 '갈 수 없는 곳의 거리'가 문제였습니다. 강 건너, 산꼭대기, 달까지의 거리처럼 직접 잴 수 없는 길이를 재야 했어요.
열쇠는 닮음이었습니다. 각도가 같은 직각삼각형은 크기가 달라도 변의 비율이 완전히 같아요. 그렇다면 각도마다 비율을 표로 만들어두면, 각도 하나와 거리 하나로 나머지 변을 전부 계산할 수 있습니다.
그 비율표가 삼각비입니다. 히파르코스의 현 목록에서 GPS 위성까지, '재지 않고 계산한다'는 측량의 혁명이 여기서 시작됐어요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 각도 30°를 그대로 두고 직각삼각형을 2배로 키우면, (높이 ÷ 빗변)은 어떻게 될까요?
각도를 고르고, 크기를 바꿔보세요
빗변 5, 10, 20 — 크기가 4배 차이 나는 세 삼각형의 (높이÷빗변)을 비교합니다.
| 빗변 | 높이 | 높이 ÷ 빗변 |
|---|---|---|
| 5 | 2.50 | 0.500 |
| 10 | 5.00 | 0.500 |
| 20 | 10.00 | 0.500 |
세 삼각형 모두 비율이 0.500으로 똑같습니다. 각도가 같으면 모양이 같고(닮음), 모양이 같으면 비율이 같기 때문이에요. 크기는 비율을 건드리지 못합니다. 비율은 각도만의 지문이에요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
삼각비는 같은 각을 가진 직각삼각형들이 닮았기 때문에 길이의 비가 일정하다는 데서 출발합니다. 실제 길이가 달라도 각에 대한 비율은 같습니다.
어떤 직각삼각형의 빗변이 5이고 기준각의 맞은편 변이 3이면 sin은 3/5입니다. 같은 모양을 두 배로 키워도 6/10=3/5로 유지됩니다.
삼각비는 길이가 아니라 각도의 지문이다.
각도 하나가 정해지면 직각삼각형의 모양이 정해지고, 모양이 정해지면 비율이 정해집니다. sin 30° = 1/2은 우주 어디서나 같아요. 각도가 가진 고유한 지문입니다.
탈레스는 그림자로 피라미드를 쟀다.
막대의 그림자와 피라미드의 그림자. 같은 시각, 같은 태양 각도면 두 삼각형은 닮음입니다. 2,600년 전의 이 통찰이 삼각비의 원형이에요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
직각과 기준각을 먼저 표시합니다. 맞은편과 이웃한 변은 어떤 각을 기준으로 하느냐에 따라 바뀝니다.
실험에서 확인한 '변하지 않는 비율'에 이름을 붙이면 이렇습니다.
공식 해부 — 강폭 재기 실험과 짝지어 보기
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삼각비의 정의
직각삼각형 세 변에서 나오는 세 가지 비율입니다. 각도만 같으면 크기와 무관하게 값이 정해져요.
높이 재기의 공식
밑변(거리)과 올려다본 각도만 알면 높이가 나옵니다. 강폭, 건물, 산 측량의 핵심 한 줄이에요.
세 형제의 관계
tan은 sin과 cos의 비입니다. 그리고 sin²+cos²=1은 피타고라스 정리의 변장이에요. 셋은 한 가족입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
삼각형이 커지면 sin 값도 커진다.
sin은 길이가 아니라 비율입니다. 닮은 삼각형에서 변들이 같은 배수로 커지므로 비율은 그대로예요. sin 30°는 손바닥만 한 삼각형에서도, 산만 한 삼각형에서도 정확히 1/2입니다.
sin, cos, tan은 서로 무관한 세 가지 공식이다.
한 직각삼각형의 세 변에서 나오는 세 가지 비율일 뿐입니다. tan = sin/cos이고 sin²+cos²=1(피타고라스)이에요. 하나를 알면 나머지가 따라옵니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
측량과 지도 제작
삼각측량은 기준선 하나와 각도들만으로 국토 전체의 지도를 그립니다. 대항해시대부터 GPS 이전까지 지도의 뼈대였어요.
항공기 착륙 각도
여객기는 활주로에 3° 각도로 접근합니다. tan 3° ≈ 0.052예요. 1km 전진할 때마다 52m씩 내려온다는 뜻입니다.
사다리 안전 규정
산업 안전 기준의 사다리 각도는 75°입니다. 벽까지 거리와 높이의 비가 1:4쯤이에요(tan 75° ≈ 3.7). 삼각비가 법규 속에 들어가 있습니다.
게임·그래픽스의 시야각
3D 카메라의 시야각(FOV), 캐릭터가 목표를 향해 도는 각도 계산까지, 게임 엔진의 회전과 조준은 전부 삼각비 연산입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
삼각형을 확대하면 sin값도 커지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
같은 각과 닮음을 유지했다면 변들의 비는 그대로이므로 sin값도 같습니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 직각삼각형을 10배로 키우면 sin 30°의 값은 어떻게 될까요?
2. 건물에서 50m 떨어진 곳에서 옥상을 올려다본 각도가 45°입니다. 건물 높이는 몇 m일까요?
3. sin, cos, tan 사이의 올바른 관계는?
4. 각도 θ가 0°에서 90° 가까이 커지면 tan θ는 어떻게 될까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1건물에서 50m 떨어진 곳에서 옥상을 올려다본 각도가 45°였습니다. 건물 높이는?답 보기 ▾
높이 = 50 × tan 45° = 50 × 1 = 50m입니다. 45°는 밑변과 높이가 같아지는 특별한 각도예요(tan 45° = 1).
Q2sin 30° = 1/2입니다. 빗변이 8인 직각삼각형에서 30° 마주보는 변의 길이는?답 보기 ▾
높이/빗변 = 1/2이므로 높이 = 8 × 1/2 = 4입니다. 비율을 알면 곱셈 한 번으로 변이 나와요. 이것이 비율표의 힘입니다.
Q3경사 30°인 100m 스키 슬로프를 다 내려오면, 수평으로는 몇 m 이동했을까요?답 보기 ▾
수평 거리 = 100 × cos 30° = 100 × (√3/2) ≈ 86.6m입니다. 수직 하강은 100 × sin 30° = 50m예요. 한 각도가 두 이동량을 모두 알려줍니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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