PROOF 156
증명하라.
내적은 크기의 곱에 cos을 곱한 것이다
평면 벡터 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
평면의 두 벡터 a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) 에 대하여 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ 로 정한다.
증명.
(1)이것이 내적의 정의다. 이 편에서 각은 아직 쓰이지 않는다.약속
(2)덧셈·뺄셈·실수배도 성분마다 두어 a ± b = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂), ta = (ta₁, ta₂)약속
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정의 D2
a 의 크기를 |a| = √(a₁² + a₂²) 로 정한다. a ≠ 0, b ≠ 0 일 때, 원점 O 에서 A(a₁, a₂) 로 그은 반직선과 B(b₁, b₂) 로 그은 반직선이 이루는 각 θ (0° ≤ θ ≤ 180°) 를 두 벡터가 이루는 각이라 한다.
증명.
(1)|a| 는 거리 공식에서 OA 의 길이와 같다.A2, 약속
(2)영벡터는 반직선을 정하지 못하므로 θ 는 a ≠ 0, b ≠ 0 일 때만 정해진다. 아래에서는 언제나 그렇게 가정한다.약속
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보조정리 L1
|a − b|² = |a|² + |b|² − 2(a·b)
증명.
(1)a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)D1
(2)|a − b|² = (√((a₁−b₁)² + (a₂−b₂)²))² = (a₁−b₁)² + (a₂−b₂)²(1), D2, A3
(3)(a₁−b₁)² = a₁² − 2a₁b₁ + b₁²A4
(4)(a₂−b₂)² = a₂² − 2a₂b₂ + b₂²A4
(5)두 식을 더하고 항을 모으면 (a₁²+a₂²) + (b₁²+b₂²) − 2(a₁b₁ + a₂b₂)(2), (3), (4), A10, A11, A12
(6)|a|² = a₁² + a₂², |b|² = b₁² + b₂², a·b = a₁b₁ + a₂b₂D1, D2, A3
(7)|a − b|² = |a|² + |b|² − 2(a·b)(5), (6), E
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보조정리 L2
|a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b| cos θ
증명.
(1)O(0, 0), A(a₁, a₂), B(b₁, b₂) 로 두면 OA = |a|, OB = |b|, AB = |a − b|D1, D2, A2
(2)0° < θ < 180° 이면 b 는 a 의 실수배가 아니므로 O, A, B 는 한 직선 위에 있지 않고, 삼각형 OAB 에서 ∠AOB = θ 이다.A5, D2
(3)AB² = OA² + OB² − 2·OA·OB·cos θ(2), A1
(4)|a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b| cos θ(1), (3), E
(5)θ = 0° 또는 θ = 180° 이면 b = ta 인 t ≠ 0 이 있다.A5
(6)|b| = √(t²a₁² + t²a₂²) = √(t²)·√(a₁²+a₂²) = |t||a|(5), D1, D2, A7, A8, A10, A13
(7)a − b = ((1−t)a₁, (1−t)a₂) 이므로 |a − b|² = (1−t)²(a₁²+a₂²) = (1−t)²|a|²(5), D1, D2, A3, A10, A13
(8)t > 0 이면 |t| = t, θ = 0°, cos θ = 1 이므로 |a||b| cos θ = |a|(t|a|) = t|a|²(5), (6), A5, A6, A9, A11, A13
(9)t < 0 이면 |t| = −t, θ = 180°, cos θ = −1 이므로 |a||b| cos θ = |a|((−t)|a|)(−1) = t|a|²(5), (6), A5, A6, A9, A11, A13
(10)|b|² = (|t||a|)² = t²|a|² 이므로 |a|² + |b|² − 2|a||b| cos θ = |a|² + t²|a|² − 2t|a|² = (1 − 2t + t²)|a|²(6), (8), (9), A8, A10, A11, A13
(11)(1 − t)² = 1 − 2t + t² 이므로 (7) 과 (10) 은 같다. 그러므로 이 경우에도 등식이 성립한다.(7), (10), A4, E
(12)0° ≤ θ ≤ 180° 의 모든 경우에 |a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b| cos θ(4), (11)
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정리 T
a ≠ 0, b ≠ 0 이고 두 벡터가 이루는 각이 θ 이면 a·b = |a||b| cos θ
증명.
(1)|a|² + |b|² − 2(a·b) = |a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b| cos θL1, L2, E
(2)양변에서 |a|² + |b|² 를 빼면 −2(a·b) = −2|a||b| cos θ(1), E, A11, A12
(3)−2 ≠ 0 이므로 소거하여 a·b = |a||b| cos θ(2), A14, A13
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
|a − b|² 를 두 번 계산했다. 두 계산 중 코사인법칙을 쓴 쪽이 어디까지인지 세어 보라.