a²+b² · 피타고라스 정리
넓이의 보존 법칙, 피타고라스 정리
직각삼각형의 두 변을 알면 나머지 한 변은 재보지 않아도 알 수 있다. 어떻게?
직각 조건을 확인하고 세 변을 연결합니다.
매듭 열두 개짜리 밧줄로 완벽한 직각을 만든 사람들
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 닿지 않고 길이를 재기 · 2/3
이 질문이 왜 필요할까요?
이집트의 측량사들은 나일강 범람 후 밭의 직각을 되살려야 했습니다. 매듭 12개짜리 밧줄을 3-4-5로 당기면 직각이 나와요. 정리가 증명되기 1,000년 전부터 쓰인 실전 기술입니다.
그리스인들은 '왜 하필 3-4-5인가'를 물었고, 답은 넓이에 있었습니다. 직각을 낀 두 변 위 정사각형의 넓이 합이 빗변 위 정사각형과 같아요. 우연이 아니라 직각의 본질이었습니다.
이 정리가 곧 거리 재는 법이 됐습니다. 좌표평면의 두 점 사이 거리, 벡터의 크기, GPS의 위치 계산까지, 현대의 모든 거리 공식이 a²+b²=c²의 후손이에요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 직각을 낀 두 변이 3과 4인 직각삼각형. 빗변의 길이는?
삼각형을 골라 넓이를 재보세요
세 변 위에 지은 정사각형의 넓이를 비교합니다. 두 작은 넓이의 합과 큰 넓이는?
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c² → c = 5 — 자연수 세 쌍! 🪢
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
피타고라스 정리는 아무 삼각형의 세 변에 대한 공식이 아닙니다. 직각을 이루는 두 변 위 정사각형의 넓이 합이 빗변 위 정사각형의 넓이와 같다는 관계입니다.
두 직각변이 3과 4라면 그 위 정사각형의 넓이는 9와 16입니다. 합이 25이므로 빗변의 길이는 양의 제곱근 5입니다. 길이를 바로 더하는 것이 아니라 넓이를 먼저 더했습니다.
피타고라스 정리는 길이가 아니라 넓이의 정리다.
a²는 변 a 위에 지은 정사각형의 넓이입니다. 제곱 기호를 넓이 그림으로 되돌리는 순간, 400개가 넘는 증명이 전부 넓이 퍼즐 맞추기였음이 보여요.
이 정리는 인류가 가장 많이 증명한 정리다.
유클리드의 증명, 넓이 재배열 증명, 아인슈타인이 12살에 만든 닮음 증명, 미국 대통령 가필드의 사다리꼴 증명까지 400가지가 넘습니다. 진리는 여러 문으로 들어갈 수 있어요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
직각삼각형이며 c는 직각의 맞은편 빗변입니다. 단위를 통일해서 계산합니다.
넓이 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 세 정사각형 실험과 짝지어 보기
+ =
피타고라스 정리
직각을 낀 두 변 위 정사각형 넓이의 합이 빗변 위 정사각형 넓이와 같습니다. 직각일 때만 성립하는 등식이에요.
거리 공식 (정리의 현대적 옷)
좌표평면의 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 보면, 가로 차와 세로 차가 두 변입니다. 거리 공식은 피타고라스 그 자체예요.
정리의 역
세 변만 재서 직각을 판정할 수 있습니다. 각도기 없이 밧줄만으로 직각을 세운 고대 측량술의 원리예요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
a+b=c. 두 변의 길이를 더하면 빗변이다.
더해지는 것은 길이가 아니라 넓이입니다. 3+4=7이지만 빗변은 5예요. 3²+4²=25=5²입니다. 길이의 덧셈이 아니라 제곱(정사각형 넓이)의 덧셈이라는 점이 이 정리의 전부예요.
피타고라스 정리는 아무 삼각형에서나 성립한다.
직각일 때만 등호가 성립합니다. 예각이면 a²+b² > c², 둔각이면 a²+b² < c²예요. 오히려 이 부등호 덕분에 세 변만 보고 직각 여부를 판정할 수 있습니다(정리의 역).
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
GPS와 내비게이션
위성과 수신기 사이 거리, 지도 위 두 지점의 직선거리는 전부 거리 공식, 즉 3차원 피타고라스(a²+b²+c²=d²)로 계산됩니다.
게임의 충돌 판정
두 캐릭터가 부딪혔는지는 중심 사이 거리로 판정합니다. 매 프레임 수천 번 실행되는 √(Δx²+Δy²)예요. 게임 엔진 속에서 피타고라스가 초당 수만 번 일합니다.
건축과 목공의 직각 내기
기초 공사에서 3-4-5 (또는 6-8-10) 줄자 삼각형으로 직각을 확인하는 것은 지금도 현장의 표준 기술입니다.
TV·모니터의 인치
'55인치'는 화면의 대각선 길이입니다. 가로세로 16:9와 피타고라스만 있으면 실제 폭과 높이를 거꾸로 계산할 수 있어요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
3+4=7을 빗변의 길이로 쓰면 무엇을 놓친 것인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
정리가 더하는 것은 변의 길이가 아니라 그 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 직각을 낀 두 변이 3과 4인 직각삼각형의 빗변은 얼마일까요?
2. 직각을 낀 두 변이 5와 12인 직각삼각형의 빗변은 얼마일까요?
3. 세 변이 6, 8, 11인 삼각형은 어떤 삼각형일까요?
4. 좌표 위 두 점 (1, 1)과 (4, 5) 사이의 직선거리는 얼마일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1두 변이 5와 12인 직각삼각형의 빗변은?답 보기 ▾
5²+12² = 25+144 = 169 = 13²입니다. 빗변은 13이에요. (5,12,13)도 (3,4,5)처럼 자연수 피타고라스 세 쌍입니다. 이런 쌍은 무한히 많아요.
Q2세 변이 6, 8, 11인 삼각형은 직각삼각형일까요?답 보기 ▾
6²+8² = 36+64 = 100인데 11² = 121입니다. 100 < 121이므로 직각이 아니라 둔각삼각형이에요. 등호가 아닌 부등호도 정보를 줍니다. a²+b² < c²이면 둔각, 크면 예각이에요.
Q3가로 3, 세로 4, 높이 12인 직육면체의 대각선 길이는?답 보기 ▾
피타고라스를 두 번 씁니다. 바닥 대각선은 √(3²+4²) = 5, 공간 대각선은 √(5²+12²) = 13이에요. 3차원 공식 √(a²+b²+c²)는 2차원 정리를 두 번 쓴 것일 뿐입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이 글이 있는 읽기 길: 닿지 않고 길이를 재기 · 2/3
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
이전 개념
다음 개념으로 연결
관련 실험실
관련 실험실