∽ · 닮음
길이는 닮음비만큼, 넓이는 그 제곱만큼
사진을 가로세로 2배로 확대하면, 사진 속 잉크는 몇 배 필요할까?
길이 비와 넓이 비를 구분합니다.
막대기 그림자 하나로 피라미드 높이를 잰 탈레스
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 닿지 않고 길이를 재기 · 1/3
이 질문이 왜 필요할까요?
지도를 그리고 모형을 만들고 사진을 인화하는 순간, 인류는 늘 같은 질문에 부딪혔습니다. 크기를 바꿀 때 무엇이 지켜지고 무엇이 변할까요?
답은 둘로 갈립니다. 각도와 비율은 지켜져요. 그래서 모양이 유지됩니다. 길이, 넓이, 부피는 각각 k, k², k³배로 변해요. 닮음비 하나가 전부를 통제합니다.
이 규칙은 곧 측량 도구가 됐습니다. 막대기 그림자와 나무 그림자는 닮은 삼각형이에요. 탈레스는 이 원리로 피라미드 높이를 쟀고, 같은 원리가 삼각비로 자라납니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 사진을 가로세로 2배로 확대하면 잉크는 몇 배 들까요?
배율을 바꿔보세요
칸을 직접 세어보세요 — 가로 길이와 칸의 개수(넓이)가 각각 몇 배가 되나요?
가로 1배
칸 수 1배
2×2 = 4
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
닮음은 모양을 유지하면서 길이의 척도만 바꾸는 관계입니다. 대응하는 각이 같고 길이의 비가 일정하다는 두 관점을 함께 읽어 봅시다.
한 도형의 모든 길이를 3배 하면 대응하는 둘레는 3배, 넓이는 9배입니다. 지도에서의 거리와 지도에 표시된 구역의 넓이가 서로 다른 비율로 변하는 이유입니다.
닮음은 '크기를 무시하는 눈'이다.
지도, 설계도, 미니어처, 화면 축소가 전부 '크기는 달라도 정보는 같다'에 기대 있습니다. 비율 실험실에서 만난 '크기를 지운 관계'가 도형의 세계로 온 것이에요.
코끼리가 개미처럼 뛸 수 없는 이유도 닮음이다.
몸길이가 k배면 근육 힘은 단면적을 따라 k²배, 몸무게는 부피를 따라 k³배가 됩니다. 클수록 힘에 비해 무게가 무거워져요. 제곱-세제곱 법칙이 생물의 형태를 결정합니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
대응하는 변을 올바르게 짝지어야 합니다. 길이의 비를 넓이나 부피에 그대로 사용하지 않습니다.
사진 확대에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 사진 확대 실험과 짝지어 보기
길이 × , 넓이 × , 부피 ×
닮음의 정의
대응하는 각이 같고, 대응하는 변의 비(닮음비)가 일정합니다. 모양이 같고 크기만 달라요.
차원별 배율
닮음비 k 하나가 모든 차원을 통제합니다. 2배 확대 사진의 잉크(넓이)는 4배 들어요.
그림자 측량
같은 시각의 태양 각도가 같으므로 두 삼각형은 닮음입니다. 대응변의 비가 같다는 성질로 잴 수 없는 높이를 재요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
2배로 확대하면 모든 것이 2배가 된다.
길이만 2배입니다. 넓이는 4배(2²), 부피는 8배(2³)예요. 차원마다 배율이 다릅니다. 사진 인화 가격이 크기 배수보다 가파르게 오르는 이유예요.
크기가 다르면 다른 도형이다.
닮음의 눈으로는 같은 도형입니다. 각도와 변의 비율이 전부 같으니까요. 지도와 실제 땅, 모형과 실물이 '같은 정보'를 담는 근거가 닮음이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
지도와 축척
1:25,000 지도는 실제 땅과 닮음입니다. 지도 위 4cm가 실제 1km예요. 닮음비 하나로 모든 거리가 번역됩니다.
모형과 설계
1/100 건축 모형, 1/24 자동차 프라모델처럼 모형이 실물의 정보를 담을 수 있는 근거가 닮음입니다. 단, 무게는 (1/100)³이라는 점이 함정이에요.
화면 해상도와 인쇄
사진을 확대 인화하면 잉크와 가격이 넓이(k²)를 따라 뜁니다. 4×6 사진과 8×12 사진은 닮음비 2, 가격 근거는 4배예요.
생물의 크기 법칙
몸이 커질수록 부피(무게)가 단면적(힘)보다 빨리 늡니다. 제곱-세제곱 법칙이에요. 개미가 자기 몸의 50배를 들고, 코끼리가 점프하지 못하는 이유입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
닮음비가 2일 때 넓이도 2배라고 하면 왜 틀리죠?
생각한 뒤 설명 확인하기
평면의 두 방향 길이가 각각 두 배가 되어 넓이가 네 배가 되기 때문입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 사진을 가로세로 2배로 확대하면, 잉크(넓이)는 몇 배 필요할까요?
2. 닮음비가 3인 두 삼각형의 넓이의 비는?
3. 1m 막대의 그림자가 1.5m입니다. 그림자가 12m인 나무의 높이는 몇 m일까요?
4. 도형을 확대해도 변하지 않는 것은 무엇일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q11m 막대의 그림자가 1.5m일 때, 그림자가 12m인 나무의 높이는?답 보기 ▾
높이와 그림자의 비가 같으므로 높이 = 12 × (1/1.5) = 8m입니다. 탈레스가 피라미드를 잰 바로 그 방법이에요.
Q2닮음비가 3인 두 삼각형의 넓이의 비는?답 보기 ▾
3² = 9배입니다. 길이는 닮음비, 넓이는 그 제곱이에요. 한 변이 3배면 가로세로가 각각 3배라 9배가 됩니다.
Q31/24 스케일 자동차 모형의 실제 대비 부피는?답 보기 ▾
(1/24)³ = 1/13,824로 약 1만 4천분의 1입니다. 길이는 24분의 1인데 부피(재료)는 만 배 넘게 줄어들어요. 세제곱의 위력입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이 글이 있는 읽기 길: 닿지 않고 길이를 재기 · 1/3
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