PROOF 153
증명하라.
방멱 정리
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
점 P 는 원 위에 있지 않다. P 를 지나 원과 두 점에서 만나는 직선을 할선이라 한다. 서로 다른 두 할선 ℓ₁, ℓ₂ 가 원과 각각 A, B 와 C, D 에서 만난다고 하자.
증명.
(1)P 가 원 밖이면 A 가 P 와 B 사이에, C 가 P 와 D 사이에 오도록 이름을 붙인다.A14, 약속
(2)P 가 원 안이면 P 가 A 와 B 사이에 있고, 또 C 와 D 사이에 있다.A15
(3)두 할선의 공통점은 P 뿐이고 P 는 원 위에 있지 않으므로 A, B, C, D 는 서로 다른 네 점이다.A5, 약속
∎
보조정리 L1
직선 BC 에 대하여 A 는 P 와 같은 쪽에 있다. P 가 원 밖이면 D 는 P 와 반대쪽에, 원 안이면 P 와 같은 쪽에 있다.
증명.
(1)ℓ₁ 과 ℓ₂ 는 서로 다르고 둘 다 P 를 지나므로 P 에서만 만난다.D1, A5
(2)직선 BC 가 ℓ₁ 과 같다면 C 는 두 할선의 공통점이 되어 C = P 이고, C 는 원 위에 있으므로 모순이다. 그러므로 직선 BC 는 ℓ₁ 과도 ℓ₂ 와도 다르다.(1), D1, R
(3)서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만나므로 직선 BC 는 ℓ₁ 과 B 에서만, ℓ₂ 와 C 에서만 만난다. 특히 A 와 D 는 직선 BC 위에 있지 않다.(2), D1, A5
(4)P 가 직선 BC 위에 있다면 그 직선은 P 와 B 를 지나므로 ℓ₁ 과 같아진다. (2) 에 어긋나므로 P 는 직선 BC 위에 있지 않다.(2), D1, A5, R
(5)P 가 원 밖이면 A 가 P 와 B 사이에, 원 안이면 P 가 A 와 B 사이에 있으므로, 어느 경우에도 B 는 선분 AP 위에 있지 않다.D1
(6)선분 AP 는 ℓ₁ 위에 있고 직선 BC 는 ℓ₁ 과 B 에서만 만나므로, 선분 AP 는 직선 BC 와 만나지 않는다. 따라서 A 와 P 는 같은 쪽에 있다.(3), (4), (5), A4
(7)P 가 원 밖이면 C 가 P 와 D 사이에 있으므로 선분 PD 는 직선 BC 와 C 에서 만난다. 따라서 D 는 P 와 반대쪽에 있다.(3), (4), D1, A4
(8)P 가 원 안이면 P 가 C 와 D 사이에 있으므로 C 는 선분 PD 위에 없고, 선분 PD 는 직선 BC 와 만나지 않는다. 따라서 D 는 P 와 같은 쪽에 있다.(3), (4), D1, A4
∎
보조정리 L2
두 경우 모두 ∠PAC = ∠PDB
증명.
(1)A 와 D 는 원 위에 있고 직선 BC 위에 있지 않으므로, 같은 쪽이면 같은 호 위에, 반대쪽이면 서로 다른 호 위에 있다.L1, A3
(2)P 가 원 안인 경우. A 와 D 는 모두 P 와 같은 쪽이므로 같은 호 위에 있고, A 를 포함하지 않는 호 BC 와 D 를 포함하지 않는 호 BC 는 같은 호다.(1), L1
(3)두 원주각은 같은 호의 절반이므로 ∠BAC = ∠BDC(2), A1
(4)P 가 A 와 B 사이에 있으므로 반직선 AP 와 반직선 AB 는 같고 ∠PAC = ∠BACD1, A16
(5)P 가 C 와 D 사이에 있으므로 반직선 DP 와 반직선 DC 는 같고 ∠PDB = ∠BDCD1, A16
(6)그러므로 원 안인 경우 ∠PAC = ∠PDB(3), (4), (5)
(7)P 가 원 밖인 경우. A 는 P 와 같은 쪽, D 는 반대쪽이므로 두 점은 서로 다른 호 위에 있고, A 를 포함하지 않는 호 BC 와 D 를 포함하지 않는 호 BC 는 서로 다른 두 호다.(1), L1
(8)그 두 호의 크기의 합은 360° 이므로 ∠BAC + ∠BDC = ½ × 360° = 180°(7), A1, A2, A12
(9)A 가 P 와 B 사이에 있으므로 반직선 AP 와 반직선 AB 는 서로 반대이고 ∠PAC + ∠CAB = 180°D1, A7
(10)C 가 P 와 D 사이에 있으므로 반직선 DP 와 반직선 DC 는 같고 ∠PDB = ∠BDCD1, A16
(11)그러므로 원 밖인 경우 ∠PAC = 180° − ∠BAC = ∠BDC = ∠PDB(8), (9), (10), E
∎
정리 T
P 를 지나는 두 할선이 원과 A, B 및 C, D 에서 만나면 PA·PB = PC·PD
증명.
(1)P 가 원 안이면 반직선 PA 와 반직선 PB 가 서로 반대이고 반직선 PC 와 반직선 PD 도 서로 반대이므로, ∠APC 와 ∠DPB 는 맞꼭지각이고 서로 같다.D1, A6
(2)P 가 원 밖이면 반직선 PA 와 반직선 PB 가 같고 반직선 PC 와 반직선 PD 도 같으므로, ∠APC 와 ∠DPB 는 같은 각이다.D1, A16
(3)두 경우 모두 ∠APC = ∠DPB 이고 ∠PAC = ∠PDB 이므로, 두 각이 각각 같아 △PAC 와 △PDB 는 P↔P, A↔D, C↔B 로 닮음이다.(1), (2), L2, A8
(4)대응변의 비가 같으므로 PA/PD = PC/PB(3), A9, A11
(5)길이는 0 보다 크므로 PA·PB = PC·PD(4), A10, A11, A12
∎
따름정리 C
P 가 원 밖이고 P 에서 그은 접선의 접점을 T, P 를 지나는 할선이 원과 만나는 점을 A, B 라 하면 PT² = PA·PB
증명.
(1)A 가 P 와 B 사이에 있으므로 반직선 PA 와 반직선 PB 는 같고, 반직선 BP 와 반직선 BA 도 같다.가정, A14, A16
(2)접선 PT 와 현 TA 가 이루는 각은 그 현에 대한 원주각과 같으므로 ∠PTA = ∠ABT = ∠PBT(1), A13
(3)∠TPA 와 ∠BPT 는 같은 각이다.(1)
(4)두 각이 각각 같으므로 △PTA 와 △PBT 는 P↔P, T↔B, A↔T 로 닮음이다.(2), (3), A8
(5)대응변의 비가 같으므로 PT/PB = PA/PT(4), A9, A11
(6)길이는 0 보다 크므로 PT² = PA·PB(5), A10, A11, A12
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
닮음을 얻으려면 각이 둘 필요하다. 두 각을 각각 어디서 얻었는지 갈라 보라.