PROOF 53
증명하라.
삼각형 닮음조건
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
△ABC 와 △A′B′C′ 가 A↔A′, B↔B′, C↔C′ 의 대응으로 닮음이라는 것은, 대응각이 각각 같고 대응변의 비가 모두 같다는 것이다.
증명.
(1)대응이란 꼭짓점의 짝 세 개를 정하는 것이다.약속
(2)첫째 조건은 ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′ 이다.약속
(3)변의 길이는 0 보다 크므로 변의 비가 정의된다.A12
(4)둘째 조건은 AB/A′B′ = BC/B′C′ = CA/C′A′ 이다. 그 공통값을 닮음비라 하고 k 로 쓴다.(3), 약속
(5)두 조건 중 하나만으로는 닮음이라 하지 않는다. 닮음조건이란 일부만 확인하고 두 조건을 모두 얻는 방법이다.(2), (4), 약속
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보조정리 L1
합동인 두 삼각형은 닮음비 1 로 닮음이다.
증명.
(1)△ABC ≅ △A′B′C′ 이면 대응각이 각각 같고 대응변의 길이가 각각 같다.가정, A11
(2)AB = A′B′ 이므로 AB/A′B′ = A′B′/A′B′ = 1 이고, 나머지 두 비도 같은 이유로 1 이다.(1), A12, A16
(3)D1 의 두 조건을 모두 만족하므로 닮음이고 닮음비는 1 이다.(1), (2), D1
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보조정리 L2
D 가 A 와 B 사이에 있을 때, D 를 지나 BC 에 평행한 직선은 A 와 C 사이의 점 E 에서 AC 를 만나고 ∠DAE = ∠BAC, ∠ADE = ∠ABC, ∠AED = ∠ACB 이다.
증명.
(1)D 를 지나 BC 에 평행한 직선 ℓ 이 존재한다.A3
(2)ℓ 은 △ABC 의 변 AB 를 D 에서 자르고 BC 와는 만나지 않으므로, 변 AC 를 한 점 E 에서 만난다. E 는 A 와 C 사이에 있다.(1), 가정, A4
(3)D 는 반직선 AB 위에, E 는 반직선 AC 위에 있으므로 ∠DAE 와 ∠BAC 는 같은 두 반직선이 이루는 각이다.(2), 가정, 약속
(4)DE ∥ BC 이고 직선 AB 가 두 직선을 자르므로 동위각이 같다. ∠ADE = ∠ABC(1), (2), A1
(5)직선 AC 가 두 직선을 자르므로 같은 이유로 ∠AED = ∠ACB(1), (2), A1
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보조정리 L3
L2 의 D 와 E 에 대하여 AD/AB = AE/AC = DE/BC
증명.
(1)DE 는 변 BC 에 평행하고 다른 두 변을 자르므로 AD/AB = AE/ACL2, A2
(2)E 를 지나 AB 에 평행한 직선이 존재한다.A3
(3)그 직선은 변 CA 를 E 에서 자르고 AB 와는 만나지 않으므로, 변 CB 를 한 점 F 에서 만난다.(2), L2, A4
(4)EF 는 변 AB 에 평행하고 다른 두 변을 자르므로 CE/CA = CF/CB(3), A2
(5)E 는 A 와 C 사이, F 는 B 와 C 사이에 있으므로 AE + EC = AC, BF + FC = BCL2, (3), A6
(6)AE/AC + CE/CA = (AE + EC)/AC = AC/AC = 1(5), A15, A16
(7)같은 방법으로 BF/BC + CF/CB = 1(5), A15, A16
(8)(4) 의 두 값이 같으므로 (6)(7) 의 나머지도 같다. AE/AC = BF/BC(4), (6), (7), E
(9)DE ∥ BF 이고 DB ∥ EF 이므로 사각형 DBFE 는 평행사변형이고, 따라서 DE = BFL2, (2), (3), A5, 약속
(10)그러므로 AD/AB = AE/AC = DE/BC(1), (8), (9)
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보조정리 L4
L2 의 D, E 에 대하여 △ADE ≅ △A′B′C′ (A↔A′, D↔B′, E↔C′) 이면, △ABC 와 △A′B′C′ 는 A↔A′, B↔B′, C↔C′ 로 닮음이다.
증명.
(1)합동이므로 A′B′ = AD, A′C′ = AE, B′C′ = DE 이고 ∠A′ = ∠DAE, ∠B′ = ∠ADE, ∠C′ = ∠AED 이다.가정, A11
(2)∠DAE = ∠BAC, ∠ADE = ∠ABC, ∠AED = ∠ACB 이므로 ∠A′ = ∠A, ∠B′ = ∠B, ∠C′ = ∠C(1), L2
(3)AD/AB = AE/AC = DE/BC 이므로 A′B′/AB = A′C′/AC = B′C′/BC(1), L3
(4)D1 의 두 조건을 모두 만족하므로 두 삼각형은 닮음이다.(2), (3), D1
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정리 T1
∠A = ∠A′ 이고 ∠B = ∠B′ 이면 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.
증명.
(1)두 삼각형의 이름을 바꾸어도 가정은 그대로이므로 A′B′ ≤ AB 라 두어도 된다.가정, 약속
(2)A′B′ = AB 인 경우, 두 각과 그 낀 변이 같으므로 △ABC ≅ △A′B′C′ 이고, L1 에 의해 닮음이다.(1), 가정, A8, L1
(3)A′B′ < AB 인 경우, 반직선 AB 위에 AD = A′B′ 인 점 D 를 잡는다. D 는 A 와 B 사이에 있다.(1), A7, A6
(4)D 를 지나 BC 에 평행한 직선이 AC 를 E 에서 만나고 ∠DAE = ∠A, ∠ADE = ∠B(3), L2
(5)가정에서 ∠DAE = ∠A′, ∠ADE = ∠B′ 이고, 그 낀 변은 AD = A′B′(3), (4), 가정
(6)두 각과 그 낀 변이 같으므로 △ADE ≅ △A′B′C′(5), A8
(7)L4 에 의해 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.(3), (4), (6), L4
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정리 T2
∠A = ∠A′ 이고 AB/A′B′ = AC/A′C′ 이면 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.
증명.
(1)가정의 비례식은 A′B′/AB = A′C′/AC 와 같으므로, 이름을 바꾸어 A′B′ ≤ AB 라 두어도 된다.가정, A13, A14, A12, 약속
(2)A′B′ = AB 인 경우, 가정에서 AB·A′C′ = AC·A′B′ 이므로 A′C′ = AC 이다.(1), 가정, A13, A14, A12, E
(3)두 변과 그 낀 각이 같으므로 △ABC ≅ △A′B′C′ 이고, L1 에 의해 닮음이다.(2), 가정, A9, L1
(4)A′B′ < AB 인 경우, 반직선 AB 위에 AD = A′B′ 인 점 D 를 잡는다. D 는 A 와 B 사이에 있다.(1), A7, A6
(5)D 를 지나 BC 에 평행한 직선이 AC 를 E 에서 만나고 AD/AB = AE/AC(4), L2, L3
(6)AD = A′B′ 이고 가정에서 A′B′/AB = A′C′/AC 이므로 AE/AC = A′C′/AC(4), (5), 가정, A13, A14, A12
(7)AE·AC = A′C′·AC 이고 AC > 0 이므로 AE = A′C′(6), A13, A12, E
(8)∠DAE = ∠A = ∠A′ 이고 AD = A′B′, AE = A′C′ 이므로 △ADE ≅ △A′B′C′(4), (5), (7), 가정, L2, A9
(9)L4 에 의해 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.(4), (5), (8), L4
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정리 T3
AB/A′B′ = BC/B′C′ = CA/C′A′ 이면 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.
증명.
(1)가정의 비례식은 뒤집어도 성립하므로, 이름을 바꾸어 A′B′ ≤ AB 라 두어도 된다.가정, A13, A14, A12, 약속
(2)A′B′ = AB 인 경우, 가정에서 B′C′ = BC 이고 C′A′ = CA 이므로 세 변이 각각 같다.(1), 가정, A13, A14, A12, E
(3)세 변이 같으므로 △ABC ≅ △A′B′C′ 이고, L1 에 의해 닮음이다.(2), A10, L1
(4)A′B′ < AB 인 경우, 반직선 AB 위에 AD = A′B′ 인 점 D 를 잡는다. D 는 A 와 B 사이에 있다.(1), A7, A6
(5)D 를 지나 BC 에 평행한 직선이 AC 를 E 에서 만나고 AD/AB = AE/AC = DE/BC(4), L2, L3
(6)AD = A′B′ 이므로 가정과 (5) 에서 AE/AC = A′C′/AC, DE/BC = B′C′/BC(4), (5), 가정, A13, A14, A12
(7)AC > 0, BC > 0 이므로 AE = A′C′, DE = B′C′(6), A13, A12, E
(8)세 변이 각각 같으므로 △ADE ≅ △A′B′C′(4), (7), A10
(9)L4 에 의해 △ABC 와 △A′B′C′ 는 닮음이다.(4), (5), (8), L4
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
세 조건은 모두 같은 축소본을 거친다. 축소본이 원본과 닮았다는 것을 어디서 얻었는지 확인하라.