PROOF 54
증명하라.
닮음비 a:b → 넓이비 a²:b²
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
두 삼각형이 대응각이 각각 같고 대응변의 비가 모두 k 로 같을 때, 닮음비 k 로 닮았다고 한다.
증명.
(1)증명 53 의 정의를 그대로 쓴다.A3, 약속
(2)변의 길이는 0 보다 크므로 k > 0 이다.(1), A17
∎
정의 D2
닮음비 k 의 확대란 평면 또는 공간 전체의 일대일 대응 f 로서 모든 두 점 P, Q 에 대하여 f(P)f(Q) = k·PQ 인 것이다. 두 도형 F, F′ 이 닮음비 k 로 닮았다는 것은 그러한 f 로 F′ = f(F) 인 것이다.
증명.
(1)f 는 일대일 대응이므로 포함 관계와 겹치지 않음을 그대로 옮긴다.약속
(2)세 점 P, Q, R 의 상은 대응하는 세 변의 비가 모두 k 이므로 원래의 삼각형과 닮음이고, 따라서 대응각이 같다.약속, A2, A3
(3)PQ + QR = PR 이면 상에서도 그 관계가 그대로이므로 f 는 사이 관계를 보존한다.약속, A14, A15
(4)그러므로 한 변이 s 인 정사각형의 상은 한 변이 ks 인 정사각형이고, 한 모서리가 s 인 정육면체의 상은 한 모서리가 ks 인 정육면체다.(2), (3), 약속
(5)삼각형과 그 상은 D1 의 뜻으로도 닮음비 k 로 닮았다. 두 정의는 삼각형에서 어긋나지 않는다.(2), A2, A3, D1
∎
보조정리 L1
닮음비 k 로 닮은 두 삼각형에서, 대응하는 밑변에 대한 두 높이의 비도 k 이다.
증명.
(1)△ABC 와 △A′B′C′ 가 닮음비 k 로 닮았다 하자. 대응각이 각각 같고 대응변의 비는 모두 k 이다.가정, D1, A3
(2)삼각형에는 예각이 둘 이상 있으므로, 꼭짓점의 이름을 바꾸어 ∠B 와 ∠C 를 예각이라 두어도 된다. 대응각이 같으므로 ∠B′, ∠C′ 도 예각이다.(1), A13, 약속
(3)A 에서 직선 BC 에 내린 수선의 발 H 는 유일하게 존재하고, ∠B 와 ∠C 가 예각이므로 H 는 B 와 C 사이에 있다. A′ 에서도 같다.(2), A11, A12
(4)△ABH 와 △A′B′H′ 는 H, H′ 에서 직각이고, H 가 반직선 BC 위에 있으므로 ∠ABH = ∠B = ∠B′ = ∠A′B′H′ 이다.(1), (3), 약속
(5)두 각이 각각 같으므로 △ABH 와 △A′B′H′ 는 닮음이다.(4), A1
(6)닮음이므로 AH/A′H′ = AB/A′B′ = k 이다. AH 와 A′H′ 는 대응하는 밑변 BC, B′C′ 에 대한 높이다.(5), (1), (3), A3
∎
정리 T1
닮음비 k 로 닮은 두 삼각형의 넓이를 S, S′ 이라 하면 S/S′ = k²
증명.
(1)L1 처럼 밑변 BC, B′C′ 와 그에 대한 높이 AH, A′H′ 를 잡는다.L1
(2)BC/B′C′ = k 이고 AH/A′H′ = k 이므로 BC = k·B′C′, AH = k·A′H′(1), D1, L1, A16, A17
(3)S = BC × AH ÷ 2, S′ = B′C′ × A′H′ ÷ 2(1), A4
(4)S = (k·B′C′)(k·A′H′) ÷ 2 = k²(B′C′ × A′H′ ÷ 2) = k²S′(2), (3), A15, E
(5)S′ > 0 이므로 S/S′ = k²(4), A17, A16
∎
정리 T2
닮음비 k 로 닮은 두 평면도형 F, F′ 의 넓이의 비는 k² 이다.
증명.
(1)F′ = f(F) 인 닮음비 k 의 확대 f 를 잡고, ε > 0 이 주어졌다 하자.가정, D2
(2)겹치지 않는 정사각형들의 합 I, J 가 있어 I ⊆ F ⊆ J 이고 넓이(J) − 넓이(I) ≤ ε(1), A9
(3)I 의 정사각형의 한 변을 sᵢ, J 의 것을 tⱼ 라 하면 넓이(I) = Σsᵢ², 넓이(J) = Σtⱼ² 이다.(2), A5, A7
(4)f(I) 와 f(J) 는 한 변이 각각 ksᵢ, ktⱼ 인 정사각형들의 합이고 f(I) ⊆ F′ ⊆ f(J)(2), (3), D2
(5)넓이(f(I)) = Σ(ksᵢ)² = k²Σsᵢ² = k²·넓이(I) 이고, 같은 방법으로 넓이(f(J)) = k²·넓이(J) 이다.(3), (4), A5, A7, A15
(6)넓이(I) ≤ 넓이(F) ≤ 넓이(J) 이고 k²넓이(I) ≤ 넓이(F′) ≤ k²넓이(J)(2), (4), (5), A8
(7)두 수가 모두 k²넓이(I) 와 k²넓이(J) 사이에 있으므로 |넓이(F′) − k²넓이(F)| ≤ k²(넓이(J) − 넓이(I)) ≤ k²ε(2), (6), A15, A18
(8)ε 은 임의였으므로 넓이(F′) = k²·넓이(F)(7), A10
(9)넓이(F) > 0 이므로 넓이(F′)/넓이(F) = k²(8), A17, A16
∎
정리 T3
닮음비 k 로 닮은 두 입체 G, G′ 의 부피의 비는 k³ 이다.
증명.
(1)한 모서리가 s 인 정육면체의 상은 한 모서리가 ks 인 정육면체이고, 그 부피는 (ks)³ = k³s³ 이다.D2, A6, A15
(2)정사각형을 정육면체로, 넓이를 부피로, k² 를 k³ 으로 바꾸면 T2 의 (1)~(8) 이 그대로 성립한다.(1), T2, A9, A7, A8, A10, A15, A18
(3)부피(G) > 0 이므로 부피(G′)/부피(G) = k³(2), A17, A16
(4)제곱과 세제곱은 방향의 개수에서 온 것이 아니라, 조각의 한 변이 k 배가 될 때 정사각형의 넓이가 k² 배, 정육면체의 부피가 k³ 배가 되는 데서 온다.(1), A5, A6
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
결론이 남는지와 이유가 남는지는 다른 물음이다. 삼각형에서 밑변과 높이를 각각 어디서 얻었는지 확인하라.