PROOF 154
증명하라.
평행선은 선분을 같은 비로 나눈다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
도형 X 의 넓이를 [X] 로 쓴다. 삼각형의 한 변을 밑변이라 하고, 마주보는 꼭짓점에서 밑변을 지나는 직선까지의 거리를 그 밑변에 대한 높이라 한다.
증명.
(1)그 거리는 꼭짓점에서 내린 수선의 길이이며 수선의 발은 유일하게 존재한다.A8, A2
(2)삼각형의 넓이와 변의 길이는 0 보다 크다.A4
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보조정리 L1
한 직선 ℓ 위에 세 점 X, Y, Z 가 있고 Y 가 X 와 Z 사이에 있으며 W 가 ℓ 위에 있지 않으면 [WXY] / [WYZ] = XY / YZ
증명.
(1)W 에서 ℓ 에 내린 수선의 발이 유일하게 존재한다. 그 수선의 길이를 h 라 한다.가정, A8
(2)밑변 XY 와 밑변 YZ 는 모두 ℓ 위에 있으므로, △WXY 의 밑변 XY 에 대한 높이와 △WYZ 의 밑변 YZ 에 대한 높이는 모두 h 이다.(1), 가정, D1
(3)[WXY] = ½ · XY · h, [WYZ] = ½ · YZ · h(2), A1
(4)YZ 와 h 와 [WYZ] 는 모두 0 보다 크므로 [WXY] / [WYZ] = XY / YZ(3), A4, A5, A6
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보조정리 L2
△ABC 에서 D 가 A 와 B 사이, E 가 A 와 C 사이에 있고 DE 가 BC 에 평행하면 [DBE] = [DEC]
증명.
(1)D 는 직선 BC 위에 있지 않으므로 직선 DE 와 직선 BC 는 서로 다른 평행한 두 직선이다.가정
(2)B 와 C 는 직선 BC 위에 있으므로 B 에서 직선 DE 까지의 거리와 C 에서 직선 DE 까지의 거리는 같다. 그 값을 h′ 이라 한다.(1), A3
(3)△DBE 와 △DEC 는 밑변을 DE 로 잡으면 그에 대한 높이가 각각 그 두 거리이므로 모두 h′ 이다.(2), D1
(4)[DBE] = ½ · DE · h′ = [DEC](3), A1, E
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정리 T
△ABC 에서 D 가 A 와 B 사이, E 가 A 와 C 사이에 있고 DE 가 BC 에 평행하면 AD / DB = AE / EC
증명.
(1)A, D, B 는 직선 AB 위에 있고 D 가 그 사이에 있으며 E 는 직선 AB 위에 있지 않다.가정
(2)△ADE 와 △DBE 에 L1 을 쓰면 [ADE] / [DBE] = AD / DB(1), L1
(3)A, E, C 는 직선 AC 위에 있고 E 가 그 사이에 있으며 D 는 직선 AC 위에 있지 않으므로, 같은 방법으로 [ADE] / [DEC] = AE / EC가정, L1
(4)[DBE] = [DEC]L2
(5)AD / DB = [ADE] / [DBE] = [ADE] / [DEC] = AE / EC(2), (3), (4), E
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따름정리 C
같은 가정 아래 AD / AB = AE / AC
증명.
(1)D 가 A 와 B 사이, E 가 A 와 C 사이에 있으므로 AD + DB = AB, AE + EC = AC가정, A7
(2)AD·EC = AE·DBT, A4, A5
(3)양변에 AD·AE 를 더하면 AD(AE + EC) = AE(AD + DB), 곧 AD · AC = AE · AB(1), (2), A6, E
(4)AB 와 AC 는 0 보다 크므로 AD / AB = AE / AC(3), A4, A5
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
평행이라는 말이 실제로 쓰인 줄을 찾아보라. 몇 줄인지 세어 보라.