PROOF 55
증명하라.
무게중심은 중선을 2:1로 나눈다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분을 중선이라 한다.
증명.
(1)각 변의 중점은 유일하게 존재하므로 삼각형의 중선은 정확히 세 개다.A6
(2)BC, CA, AB 의 중점을 각각 L, M, N 이라 하고, 세 중선을 AL, BM, CN 이라 쓴다.(1), 약속
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보조정리 L1
삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이의 절반이다. 즉 N, M 이 각각 변 AB, AC 의 중점이면 NM ∥ BC 이고 NM = ½BC
증명.
(1)M, N 은 유일하게 존재하고 AN = ½AB, AM = ½ACA6, D1
(2)AB/AN = 2 = AC/AM 이고, ∠A 는 △ABC 와 △ANM 의 같은 각이다.(1), A12, A14, 약속
(3)두 변의 비가 같고 그 낀 각이 같으므로 △ABC 와 △ANM 은 A↔A, B↔N, C↔M 으로 닮음이다.(2), A3
(4)닮음이므로 ∠ABC = ∠ANM 이고 BC/NM = 2(3), (2), A4
(5)동위각 ∠ABC 와 ∠ANM 이 같으므로 NM ∥ BC(4), A5
(6)BC/NM = 2 이고 NM > 0 이므로 NM = ½BC(4), A12, A14, E
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보조정리 L2
두 중선 AL 과 BM 은 A 와 L 사이이자 B 와 M 사이인 한 점 G 에서 만난다.
증명.
(1)L 은 변 BC 의, M 은 변 CA 의 내부 점이다.A6, D1
(2)M 은 변 CA 의 내부 점이므로 ∠ABC 의 내부에 있고, L 은 변 BC 의 내부 점이므로 ∠BAC 의 내부에 있다.(1), A8
(3)L 은 반직선 BC 위에 있으므로 ∠ABL = ∠ABC 이다. 반직선 BM 은 △ABL 에서 ∠ABL 의 내부로 나가므로 선분 AL 을 한 점 G 에서 만난다.(1), (2), A7
(4)같은 방법으로 반직선 AL 은 △ABM 에서 선분 BM 을 한 점 G′ 에서 만난다.(1), (2), A7
(5)L 은 직선 AB 위에 없으므로 직선 AL 과 직선 BM 은 서로 다르고, 두 직선의 교점은 많아야 하나다.(1), A9, 약속
(6)G 와 G′ 는 모두 두 직선 위에 있으므로 G = G′ 이고, 이 점은 선분 AL 의 내부이자 선분 BM 의 내부에 있다.(3), (4), (5)
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보조정리 L3
L2 의 점 G 에 대하여 AG = 2·GL 이고 BG = 2·GM
증명.
(1)M 과 L 은 각각 변 CA, CB 의 중점이므로, 꼭짓점 C 를 A 의 자리에 두고 L1 을 쓰면 ML ∥ AB 이고 ML = ½ABD1, L1, 약속
(2)G 는 선분 AL 과 선분 BM 의 내부 교점이므로, 직선 BM 은 평행한 두 직선 ML 과 AB 를 자른다.L2, (1)
(3)A 와 L 은 직선 BM 의 반대쪽에 있으므로 엇각이 같다. ∠GML = ∠GBA(2), L2, A1
(4)직선 AL 도 두 평행선을 자르므로 같은 이유로 ∠GLM = ∠GAB(2), L2, A1
(5)두 각이 각각 같으므로 △GML 과 △GBA 는 G↔G, M↔B, L↔A 로 닮음이다.(3), (4), A2
(6)닮음이므로 GM/GB = GL/GA = ML/AB = ½(5), (1), A4
(7)길이는 0 보다 크므로 AG = 2·GL, BG = 2·GM(6), A12, A14, E
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정리 T
삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 점은 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1 로 나눈다.
증명.
(1)중선 AL 과 중선 BM 은 한 점 G 에서 만나고 AG = 2·GLL2, L3
(2)중선 AL 과 중선 CN 에 같은 논증을 하면 두 중선은 한 점 G″ 에서 만나고 AG″ = 2·G″LL2, L3, 약속
(3)G 와 G″ 는 모두 선분 AL 의 내부에 있으므로 AG + GL = AL, AG″ + G″L = AL(1), (2), L2, A10
(4)2·GL + GL = 3·GL = AL 이므로 GL = AL/3 이고 AG = 2·AL/3. G″ 에 대해서도 같으므로 AG = AG″(1), (2), (3), A13, A14, E
(5)반직선 AL 위에서 A 로부터의 거리가 AG 인 점은 하나뿐이므로 G = G″(4), A11
(6)따라서 세 중선은 모두 G 를 지난다. 이 점을 무게중심이라 한다.(1), (2), (5), 약속
(7)L3 을 각 중선에 적용하면 AG = 2·GL, BG = 2·GM, CG = 2·GN(6), L3
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
평행하다는 사실을 어디서 얻었고 어디서 다시 썼는지 나누어 보라. 두 곳은 같은 근거를 쓰지 않는다.