PROOF 32
증명하라.
삼각비는 각만으로 정해진다
직각삼각형 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
예각 θ 와 θ 를 한 예각으로 갖는 직각삼각형 T 에 대하여, s(θ, T) 는 T 에서 θ 의 대변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값이다.
증명.
(1)θ 를 한 예각으로 갖는 직각삼각형이 존재한다.A3
(2)그 삼각형에서 직각의 대변을 빗변, θ 의 대변을 높이라 한다.약속
(3)빗변의 길이는 0 이 아니므로 나눗셈이 정의된다.A4
(4)s(θ, T) = 높이 ÷ 빗변 으로 둔다. 이 값은 아직 T 에 의존한다.(2), (3), 약속
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보조정리 L1
같은 예각 θ 를 갖는 두 직각삼각형은 닮음이다.
증명.
(1)T = △ABC 는 C 에서 직각이고 ∠A = θ, T′ = △A′B′C′ 는 C′ 에서 직각이고 ∠A′ = θ 라 하자.가정
(2)∠C = ∠C′ = 90°(1)
(3)∠A = ∠A′ = θ(1)
(4)두 각이 각각 같으므로 두 삼각형은 A↔A′, B↔B′, C↔C′ 의 대응으로 닮음이다.(2), (3), A1
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보조정리 L2
△ABC 와 △A′B′C′ 가 A↔A′, B↔B′, C↔C′ 로 닮음이면 BC/AB = B′C′/A′B′
증명.
(1)a = BC, c = AB, a′ = B′C′, c′ = A′B′ 로 둔다.약속
(2)a, c, a′, c′ 는 모두 0 보다 크다.A4
(3)BC 와 B′C′, AB 와 A′B′ 는 각각 대응변이므로 a/a′ = c/c′가정, A2, (2)
(4)a c′ = a′ c(3), A5, (2)
(5)양변을 c c′ 로 나누면 (a c′)/(c c′) = (a′ c)/(c c′)(4), (2), E
(6)c c′ = c′ c 이므로 a/c = a′/c′(5), A7, A6
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정리 T1
같은 예각 θ 를 갖는 임의의 두 직각삼각형 T, T′ 에 대하여 s(θ, T) = s(θ, T′)
증명.
(1)T = △ABC, T′ = △A′B′C′ 를 L1 과 같이 두면 두 삼각형은 닮음이다.L1
(2)∠C 가 직각이므로 빗변은 AB 이고, ∠A = θ 이므로 θ 의 대변은 BC 이다.(1), D1
(3)T′ 에서도 빗변은 A′B′, θ 의 대변은 B′C′ 이다.(1), D1
(4)BC/AB = B′C′/A′B′(1), L2
(5)s(θ, T) = BC/AB, s(θ, T′) = B′C′/A′B′(2), (3), D1
(6)s(θ, T) = s(θ, T′)(4), (5)
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따름정리 C
sin θ 는 각 θ 만의 함수로 정의된다.
증명.
(1)θ 를 갖는 직각삼각형 T 가 존재한다.A3
(2)s(θ, T) 의 값은 T 의 선택과 무관하다.T1
(3)그러므로 sin θ = s(θ, T) 로 두면 각 θ 마다 값이 하나로 정해진다.(1), (2), D1
(4)이웃변 ÷ 빗변, 대변 ÷ 이웃변 도 같은 논증으로 T 와 무관하며, 각각 cos θ, tan θ 로 정의된다.L1, L2, A3, A4
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
각에서 닮음으로 건너가는 줄과, 닮음에서 비로 건너가는 줄을 나누어 보라. 둘은 같은 근거를 쓰지 않는다.