PROOF 34
증명하라.
사인법칙과 코사인법칙
일반 삼각형 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
삼각형 ABC 에서 a = BC, b = CA, c = AB 로 두고, A, B, C 는 각각 그 꼭짓점의 내각을 뜻한다.
증명.
(1)각 변은 마주보는 꼭짓점의 소문자로 쓴다.약속
(2)꼭짓점의 이름은 바꿔 붙일 수 있으므로, A 에 대해 증명한 것은 B 와 C 에 대해서도 성립한다.약속
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보조정리 L1
A 에서 직선 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 AH = b sin C 이고 AH = c sin B
증명.
(1)그러한 H 는 유일하게 존재한다.A10
(2)AH ⊥ BC 이므로, H = C 인 것은 CA ⊥ CB, 즉 C = 90° 인 경우뿐이다.(1), 약속
(3)C = 90° 이면 AH = CA = b 이고 sin C = 1 이므로 AH = b × 1 = b sin C(2), A9, A21
(4)C < 90° 이면 H ≠ C 이고 H 는 반직선 CB 위에 있으므로 ∠ACH = C(2), A11
(5)삼각형 ACH 는 H 에서 직각이고 빗변은 CA = b, ∠ACH 의 대변은 AH 이므로 AH = b sin C(4), A4, A2
(6)C > 90° 이면 H 는 반직선 CB 위에 없고 ∠ACH = 180° − C(2), A11, A12
(7)AH = b sin(180° − C) = b sin C(6), A4, A2, A6
(8)세 경우 모두 AH = b sin C(3), (5), (7)
(9)삼각형 ABH 에서 빗변은 AB = c 이고 B 에서의 각은 B 또는 180° − B 이므로, (2)~(8) 과 같은 논증으로 AH = c sin B(1), D1, A2, A4, A6, A9, A11, A12, A21
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보조정리 L2
A 에서 직선 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 BH² = (a − b cos C)²
증명.
(1)C ≤ 90° 이면 H 는 반직선 CB 위에 있다.A11
(2)C = 90° 이면 H = C 이고 CH = 0, cos C = 0 이므로 CH = b cos C(1), A9, A22
(3)C < 90° 이면 삼각형 ACH 는 H 에서 직각이고 빗변은 b, C 의 이웃변은 CH 이므로 CH = b cos C(1), A5, A2
(4)B 와 H 는 C 에서 같은 반직선 위이므로 BH = |CB − CH| = |a − b cos C|(1), (2), (3), A13
(5)BH² = (a − b cos C)²(4), A15
(6)C > 90° 이면 H 는 반직선 CB 위에 없고 ∠ACH = 180° − CA11, A12
(7)삼각형 ACH 에서 CH = b cos(180° − C) = b(−cos C) = −(b cos C)(6), A5, A2, A7, A24
(8)B 와 H 는 C 에서 반대 반직선 위이므로 BH = CB + CH = a + (−(b cos C)) = a − b cos C(6), (7), A14, 약속
(9)BH² = (a − b cos C)²(8)
(10)모든 경우에 BH² = (a − b cos C)²(5), (9)
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정리 T1
삼각형 ABC 에서 a/sin A = b/sin B = c/sin C
증명.
(1)b sin C = c sin BL1
(2)0 < B < 180°, 0 < C < 180° 이므로 sin B > 0, sin C > 0A8
(3)양변을 (sin B)(sin C) 로 나누면 (b sin C)/((sin B)(sin C)) = (c sin B)/((sin B)(sin C))(1), (2), E
(4)(b sin C)/((sin B)(sin C)) = b/sin B(3), A23
(5)(sin B)(sin C) = (sin C)(sin B) 이므로 (c sin B)/((sin B)(sin C)) = c/sin C(3), A18, A23
(6)b/sin B = c/sin C(3), (4), (5)
(7)B 에서 직선 CA 에 내린 수선으로 같은 논증을 하면 c/sin C = a/sin AD1, L1, A8, A18, A23, E
(8)a/sin A = b/sin B = c/sin C(6), (7)
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정리 T2
삼각형 ABC 에서 c² = a² + b² − 2ab cos C
증명.
(1)A 에서 직선 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하자.A10
(2)H ≠ B 이면 삼각형 ABH 는 H 에서 직각이고 빗변은 AB = c 이므로 c² = AH² + BH²(1), A1
(3)H = B 이면 AH = AB = c 이고 BH = 0 이므로 AH² + BH² = c² + 0 = c²(1), A22
(4)어느 경우든 c² = AH² + BH²(2), (3)
(5)AH = b sin C 이므로 AH² = (b sin C)² = b² sin²CL1, A18, A20
(6)BH² = (a − b cos C)²L2
(7)(a − b cos C)² = a² − 2a(b cos C) + (b cos C)²A16
(8)2a(b cos C) = 2ab cos C 이고 (b cos C)² = b² cos²CA18, A20
(9)c² = b² sin²C + a² − 2ab cos C + b² cos²C(4), (5), (6), (7), (8)
(10)b² sin²C + b² cos²C = b²(sin²C + cos²C) = b² × 1 = b²A17, A3, A21
(11)c² = a² + b² − 2ab cos C(9), (10), A18, A19
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따름정리 C
C = 90° 이면 c² = a² + b²
증명.
(1)cos C = cos 90° = 0A9
(2)2ab cos C = 2ab × 0 = 0(1), A22
(3)c² = a² + b² − 0 = a² + b²T2, (2), A22
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 법칙은 같은 수선에서 나온다. 수선의 길이를 재는 줄과 길이의 제곱을 더하는 줄을 나누어 보라.