√ · 제곱근
제곱을 거꾸로 되묻는 물음, 제곱근
넓이가 25인 정사각형 땅의 한 변은 5m. 그럼 넓이가 20이라면?
주제곱근과 방정식의 해를 구분합니다.
3,700년 전 점토판에 √2를 소수점 여섯 자리까지 새긴 사람들
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 반복되는 곱셈을 거꾸로 · 2/3
이 질문이 왜 필요할까요?
정사각형의 넓이에서 한 변을 되찾는 질문은 자연스럽습니다. 넓이 25면 변 5이죠. 그런데 넓이 20이면 4와 5 사이 어딘가일 뿐, 딱 떨어지는 수가 없어요.
조여볼 수는 있습니다. 4.4²=19.36, 4.5²=20.25, 4.47²=19.98처럼요. 영원히 끝나지 않는 이 수에 이름이 필요했습니다. '제곱해서 20이 되는 양수'를 √20이라 쓰기로 한 것이에요.
√는 거듭제곱의 역연산입니다. 제곱(넓이 만들기)을 거꾸로 물으면 제곱근(변 되찾기)이에요. 로그가 지수의 '횟수'를 묻듯, 제곱근은 '밑'을 묻습니다. 두 역연산이 거듭제곱의 양 옆문이에요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 넓이 25인 정사각형의 한 변은 5m. 넓이가 20이라면 한 변은?
한 변을 조여보세요
제곱해서 20이 되는 수를 찾습니다. 버튼을 눌러 한 단계씩 조이세요.
지금 조이기 = 지금 어림
조이기 시작하면 √20의 어림값이 함께 좁혀집니다.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
제곱근은 제곱의 질문을 거꾸로 하는 것입니다. 다만 방정식 x²=a의 해와 기호 √a가 가리키는 주값을 구분해야 혼동이 줄어듭니다.
x²=9의 실수 해는 3과 −3입니다. 하지만 √9는 음이 아닌 제곱근 3을 뜻합니다. 기호 하나가 두 값을 동시에 나타낸다고 읽지 않는 것이 중요합니다.
√는 답이 아니라 질문을 얼려둔 기호다.
√20은 '제곱해서 20이 되는 수'라는 질문 그 자체를 수처럼 다루겠다는 선언입니다. 계산이 안 끝나도 √20끼리 곱하고 비교할 수 있어요. 기호가 계산을 대신 들고 다닙니다.
제곱근은 넓이의 세계에서 길이의 세계로 돌아오는 문이다.
넓이, 에너지, 분산처럼 제곱으로 쌓인 양에서 원래 크기로 돌아올 때 √가 등장합니다. 표준편차가 분산의 제곱근인 이유도 정확히 이것이에요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
실수에서 √a는 a≥0일 때 정의되며 음이 아닌 값을 택합니다.
정사각형 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 곱셈 궁합 실험과 짝지어 보기
× = =
제곱근의 정의
(√a)² = a입니다. 기호 √는 양수 쪽만 가리켜요. 음수 쪽까지 말하려면 ±√a라고 씁니다.
곱셈과의 궁합
√2×√8 = √16 = 4입니다. 곱셈 위로는 자유롭게 쪼개지고 합쳐져요. √12 = 2√3 같은 정리가 여기서 나옵니다.
덧셈과의 불화
√는 덧셈 위로 쪼개지지 않습니다. √(a+b)는 √a + √b가 아니에요. 가장 흔한 오답의 근원입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
√16 + √9 = √25다. (루트끼리 더하면 된다)
√16+√9 = 4+3 = 7이지만 √25 = 5입니다. √는 덧셈 위로 쪼개지지 않아요. 곱셈과만 친합니다(√a×√b=√ab). 이 착각이 제곱근 오답의 최대 단골이에요.
√25 = ±5다.
제곱해서 25가 되는 수는 5와 −5 둘이지만, 기호 √25는 그중 양수 5만 가리키기로 약속되어 있습니다. '25의 제곱근'(둘 다)과 '√25'(양수 하나)는 다른 말이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
화면과 땅의 한 변
넓이 100㎡ 정사각형 텃밭의 한 변은 10m입니다. 55인치 화면의 실제 크기 계산도 마찬가지예요. 넓이에서 길이로 돌아올 때마다 √가 일합니다.
제동거리와 속도
제동거리는 속도의 제곱에 비례합니다. 거꾸로 스키드마크 길이에서 사고 당시 속도를 추정할 때 √가 쓰여요. v = √(255×마찰계수×거리)입니다.
표준편차
분산은 편차를 제곱해 평균 낸 값입니다. 원래 단위로 돌아오려면 제곱근을 씌워요. 통계의 표준편차 σ = √분산입니다.
화면 대각선과 게임
거리 공식은 √(Δx²+Δy²)입니다. 게임의 충돌 판정과 GPS 거리 계산이 매 순간 제곱근을 계산해요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
√(x²)은 언제나 x인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
실수에서는 ∣x∣입니다. x=−3이면 √9=3이므로 x 자체와 다릅니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. √9 + √16은 얼마일까요?
2. √36의 값은 무엇일까요?
3. √3 × √12는 얼마일까요?
4. 넓이가 20㎡인 정사각형의 한 변은 약 몇 m일까요? (소수 둘째 자리까지)
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1√49와 √64 사이에 있는 자연수는?답 보기 ▾
√49 = 7, √64 = 8이라 사이에 자연수는 없습니다! 7과 8 사이에는 √50, √51, … √63 같은 무리수들이 빽빽이 있을 뿐이죠.
Q2√12를 간단히 하면?답 보기 ▾
√12 = √(4×3) = √4×√3 = 2√3입니다. 곱셈 궁합(√ab = √a√b)으로 제곱수를 밖으로 꺼내는 것이 '근호 간단히 하기'예요.
Q3√5는 2와 3 중 어느 쪽에 가까울까요?답 보기 ▾
2.2² = 4.84, 2.3² = 5.29이므로 √5는 약 2.24입니다. 2에 훨씬 가까워요. 제곱해서 조여보는 습관이 √의 크기 감각을 만듭니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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