PROOF 95
증명하라.
√a 는 음이 아닌 쪽으로 정한다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a > 0 에 대하여 √a 는 x² = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
(1)제곱근은 제곱을 거꾸로 묻는 것이다. 제곱하여 a 가 되는 수는 무엇인가.약속
(2)이 정의는 그러한 x 가 여럿이면 √a 가 무엇을 가리키는지 말해 주지 않는다.약속
∎
정의 D2
x² = a 의 해가 여럿일 때, √a 는 그중 음이 아닌 것을 뜻한다.
증명.
(1)기호 √a 가 값 하나를 가리키려면 입력 a 마다 출력이 하나여야 한다.F
(2)그러므로 해가 여럿이면 그중 하나를 고르는 규약이 있어야 한다.(1), D1
(3)음이 아닌 쪽을 고른다.약속
∎
보조정리 L1
a > 0 이면 x² = a 를 만족하는 실수는 x 와 −x 둘뿐이며, 하나는 양수이고 다른 하나는 음수다.
증명.
(1)x² = a 인 x > 0 가 존재한다.A1
(2)(−x)² = x² = a 이므로 −x 도 해다.(1), A2, E
(3)x > 0 이므로 −x < 0 이다.(1), A5
(4)x 와 −x 는 서로 다른 두 해다.(1), (2), (3), A4
(5)y² = a 이고 y ≥ 0 인 y 를 잡는다.가정
(6)x ≠ y 이면 x < y 또는 y < x 이다.A4
(7)어느 쪽이든 x² ≠ y² 이다.(6), A3, A4
(8)x² = y² = a 이므로 이는 모순이고, 따라서 x = y 이다.(1), (5), (7), E
(9)z < 0 이고 z² = a 이면 −z > 0 이고 (−z)² = a 이다.A2, A5, E
(10)(8) 에 의하여 −z = x 이므로 z = −x 이다.(8), (9)
(11)그러므로 해는 x 와 −x 둘뿐이다.(4), (8), (10)
∎
정리 T
a > 0 이면 √a 는 하나로 정해지며, √a ≥ 0 이고 (√a)² = a 이다.
증명.
(1)x² = a 의 해는 x 와 −x 둘뿐이다.L1
(2)x > 0 이고 −x < 0 이므로 음이 아닌 해는 하나뿐이다.(1), A5, A4
(3)D2 는 그 하나를 √a 로 정한다.(2), D2
(4)그러므로 √a ≥ 0 이고 (√a)² = a 이다.(3), D1, D2
∎
따름정리 C
x² = 4 의 해는 x = 2 와 x = −2 이지만, √4 = 2 이다.
증명.
(1)2 × 2 = 4 이므로 2 는 x² = 4 의 해다.A6, D1
(2)해는 2 와 −2 둘뿐이다.(1), L1
(3)둘 가운데 음이 아닌 것은 2 이다.(2), A5
(4)그러므로 √4 = 2 이다.(3), D2
(5)방정식의 해는 x = ±2 이고, 기호 √4 는 그중 하나만 가리킨다. 두 문장은 다르다.(2), (4)
∎
비고
F 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
해가 둘이라는 사실과 기호 √ 가 값 하나를 가리킨다는 것은 서로 다른 문장이다.