log · 로그
큰 차이를 압축하는 언어, 로그.
1과 100억처럼 터무니없이 벌어진 수들을, 한 화면에서 공정하게 비교하려면 어떻게 해야 할까?
밑과 진수의 조건을 함께 읽습니다.
천문학자의 수명을 두 배로 늘렸다는 발명
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 반복되는 곱셈을 거꾸로 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
지진의 규모, 소리의 크기(데시벨), 별의 밝기, 주식 수익률처럼 실제 세상의 값은 10배, 100배, 1000배씩 차이가 나는 경우가 많습니다.
이런 값을 그대로 그래프에 그리면 작은 값들은 눌려서 보이지도 않아요. 1과 10의 차이는 잘 보여도, 10000과 100000의 차이는 화면 안에 담기조차 어렵습니다.
로그는 '몇 배 커졌는가'라는 곱셈적 질문을, '몇 번 곱했는가'라는 덧셈적 질문으로 바꿔줍니다. 그 덕분에 우주적으로 큰 값도 작은 눈금 위에서 비교할 수 있게 돼요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
| 진짜 숫자 (폭발한다) | 10을 곱한 횟수 |
|---|---|
| 1 (한 번도 안 곱한 바닥) | 0 |
지금 사다리 = 지금 공식
×10을 눌러 사다리를 한 칸 쌓아보세요.
×10 버튼을 누를 때마다 이 두 줄이 함께 바뀝니다.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
로그는 어떤 밑을 몇 제곱하면 주어진 수가 되는지를 묻는 지수의 역질문입니다. 자연수 지수에서는 곱한 횟수로 시작할 수 있지만, 지수를 실수로 넓히면 횟수라는 비유도 함께 넓혀야 합니다.
log₁₀100=2, log₁₀1000=3입니다. 원래 수는 열 배가 되었지만 로그값은 1만 늘었습니다. 같은 비율의 변화를 같은 간격으로 읽는 것이 로그 눈금의 장점입니다.
로그는 곱셈의 세계를 덧셈의 세계로 바꾸는 도구다.
10 × 10 × 10 = 1000이라는 곱셈 관계는, 로그의 세계에서는 1 + 1 + 1 = 3이라는 덧셈 관계가 됩니다. 어려운 곱셈을 쉬운 덧셈으로 바꿔서 계산을 단순하게 만들려는 것이 로그가 태어난 이유였어요.
숫자가 아니라 '자릿수'를 보는 감각.
log10(x)의 정수 부분은 사실상 x의 자릿수와 거의 같습니다. 로그값을 본다는 것은 정확한 숫자보다 '이 숫자가 대략 어느 규모인가'를 먼저 파악하는 감각을 기르는 일이에요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
실수 로그는 진수가 양수이고 밑이 양수이면서 1이 아니어야 합니다. 로그값을 비교할 때 같은 밑을 사용합니다.
실험에서 확인한 '10배 커질 때마다 로그값은 1씩 증가한다'는 관찰을 수식으로 정리하면, 그것이 곧 로그의 정의와 성질이 됩니다.
공식 해부 — 실험에서 만진 것과 짝지어 보기
=
로그의 정의
로그는 '10을 몇 번 곱해야 x가 되는가?'라는 질문의 답입니다. 슬라이더에서 본 것처럼 x=1000이면 답은 3이에요.
곱셈 → 덧셈
두 수를 곱한 것의 로그는, 각각의 로그를 더한 것과 같습니다. 로그가 '곱셈의 세계를 덧셈의 세계로 바꾼다'는 말의 정확한 표현이에요.
나눗셈 → 뺄셈
같은 원리로, 나눗셈은 로그의 세계에서 뺄셈이 됩니다.
거듭제곱 → 곱셈
a를 n번 곱하는 것은, 로그의 세계에서 log a를 n배 하는 것입니다. 복잡한 거듭제곱 계산이 단순한 곱셈으로 내려와요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
로그값이 2배면 원래 수도 2배쯤 클 것이다.
log가 2에서 4가 되면 원래 수는 100에서 10,000으로 100배가 됩니다. 로그의 눈금 한 칸은 덧셈이 아니라 곱셈 한 번이에요.
로그는 계산기가 알아서 해주는, 실생활과 무관한 기호다.
지진 규모, 소리 크기(dB), 산성도(pH), 별의 밝기처럼 인간이 감각하는 세계의 단위 대부분이 이미 로그입니다. 우리 감각 자체가 로그로 작동하기 때문이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
지진 규모 (리히터 규모)
규모 7 지진은 규모 6보다 에너지가 약 32배 큽니다. 곱셈적으로 벌어지는 에너지 차이를 로그로 압축했기 때문에 '규모 6 → 7'처럼 1 차이로 말할 수 있어요.
소리 크기 (데시벨)
소리의 레벨이 90dB 차이 난다고 가정해 봅시다. 음압의 비는 10^(90/20), 약 31,623배입니다. 같은 매질에서 대응하는 세기 비는 10^(90/10), 10억 배예요. 음압과 세기를 구분하면 로그 앞의 20과 10도 이해할 수 있습니다.
산성도 (pH)
pH가 1 낮아질 때마다 수소 이온 농도는 10배씩 진해집니다. pH 3인 식초가 pH 7인 물보다 10,000배 산성인 것을 한 자리 숫자로 표현해요.
주식 장기 수익률 차트
10년 넘는 주가 차트는 로그 눈금으로 그려야 초기의 상승과 최근의 상승을 공정하게 비교할 수 있습니다. 같은 기울기가 같은 수익률이 되기 때문이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
로그값에 1을 더하는 것은 원래 수에 1을 더하는 일인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
밑이 10이면 원래 수를 10배 하는 일입니다. 덧셈과 곱셈의 세계가 서로 대응합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 10을 몇 번 곱해야 1,000이 될까요?
2. log₁₀(50,000)은 어느 사이에 있을까요?
3. 지진 규모 7은 규모 5보다 에너지가 약 몇 배 클까요? (규모 1당 에너지 약 32배)
4. 2를 몇 번 곱하면 1,024가 될까요? (log₂ 1,024)
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1계산기 없이: log₁₀(50,000)은 대략 얼마일까요? (정확한 값이 아니라 범위만)답 보기 ▾
10⁴ = 10,000과 10⁵ = 100,000 사이의 수이므로 답은 4와 5 사이입니다(실제로는 약 4.7). '자릿수에서 1을 뺀 값과 자릿수 사이'라는 감각이면 충분해요. 로그는 자릿수를 읽는 도구입니다.
Q2A 도시 인구는 3만 명, B 도시는 3,000만 명. 로그 눈금 위에서 두 도시의 간격은 몇 칸일까요? (한 칸 = ×10)답 보기 ▾
3,000만 ÷ 3만 = 1,000배 = 10³이므로 정확히 3칸입니다. 실제 수는 압도적으로 달라도 로그 눈금에선 나란히 놓고 비교할 수 있어요.
Q3소리의 세기가 10배가 되면 데시벨(dB)은 얼마나 커질까요?답 보기 ▾
정확히 +10dB입니다. 데시벨은 10 × log₁₀(세기비)로 정의되기 때문이에요. 100배면 +20dB입니다. 곱셈이 덧셈이 되는 로그의 성질 그대로예요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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미분
로그로 큰 값을 다루는 감각을 익혔다면, 이제는 값이 '변화하는 속도'를 들여다볼 차례다. 미분은 로그 그래프처럼 완만하게 휘어지는 곡선 위에서, 한 순간의 기울기를 포착하는 도구다.
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