PROOF 17
증명하라.
log(ab) = log a + log b
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
1 보다 큰 c 를 고정한다. x > 0 에 대하여 log x 는 cˢ = x 를 만족하는 s 를 뜻한다.
증명.
(1)로그는 지수를 거꾸로 묻는 것이다. 밑을 몇 제곱해야 x 가 되는가.약속
(2)이 정의가 뜻을 가지려면 그러한 s 가 존재하고 하나뿐이어야 한다.약속
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보조정리 L1
x > 0 이면 cˢ = x 를 만족하는 s 가 존재하고 하나뿐이다.
증명.
(1)그러한 s 의 존재는 A3 이 보장한다.A3
(2)cˢ = x 이고 cᵗ = x 인 s, t 를 잡는다.가정
(3)s ≠ t 이면 s < t 또는 t < s 이다.A5
(4)s < t 이면 cˢ < cᵗ 이다.A2
(5)t < s 이면 cᵗ < cˢ 이다.A2
(6)어느 쪽이든 cˢ ≠ cᵗ 이다.(4), (5), A5
(7)이는 cˢ = cᵗ = x 에 모순이다. 따라서 s = t 이다.(2), (6)
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정리 T
a > 0 이고 b > 0 이면 log(ab) = log a + log b
증명.
(1)s = log a, t = log b 로 둔다.D1, L1
(2)cˢ = a 이고 cᵗ = b 이다.(1), D1
(3)cˢ⁺ᵗ = cˢ cᵗA1
(4)cˢ⁺ᵗ = ab(2), (3), E
(5)ab > 0 이다.A4
(6)cᵘ = ab 를 만족하는 u 는 하나뿐이다.(5), L1
(7)s + t 가 그 u 이다.(4), (6)
(8)log(ab) = s + t = log a + log b(1), (7), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
곱셈이 덧셈으로 바뀌는 일이 로그의 성질인지 지수의 성질인지 확인하라.